山西省运城市绛县中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省运城市绛县中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设

若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为（A）－4

（B）－2

（C）－1

（D）0参考答案：C2.已若当∈R时，函数且）满足≤1，则函数的图像大致为(

)

参考答案：C略3.若如图所示的程序框图输出的是126，则条件①可为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：B4.已知集合，，则=（

）

(A)}

(B)

(C)

(D)参考答案：D5.参考答案：B6.若实数满足，则由点P形成的平面区域的面积是（

）A.3

B.

C.

6 D.参考答案：A7.（5分）（2015秋?太原期末）已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，2）参考答案：B【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案．【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵f（0）=2，∴g（0）=2，∵不等式f（x）＞2ex，∴g（x）＞2=g（0），∴x＞0，故选：B．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．8.已知点F2，P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】方法一：由题意可知：则M为线段PF2的中点，则M（，），根据向量数量积的坐标运算，即可求得x=2c，利用两点之间的距离公式，即可求得y=c，利用双曲线的定义，即可求得a=（﹣1）c，利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率．方法二：由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，根据向量的数量积，求得cos∠OF2M，利用余弦定理即可求得丨OM丨，根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，a=（﹣1）c，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设P（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，则M（，），则=（c，0），=（，），则?=×c=解得：x=2c，由丨丨=丨丨=c，即=c，解得：y=c，则P（2c，c），由双曲线的定义可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，即﹣=2a，a=（﹣1）c，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D．方法二：由题意可知：2=+，则M为线段PF2的中点，则OM为△F2F1P的中位线，?=﹣?=﹣丨丨?丨丨cos∠OF2M=，由丨丨=丨丨=c，则cos∠OF2M=﹣，由正弦定理可知：丨OM丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos∠OF2M=3c2，则丨OM丨=c，则丨PF1丨=2，丨PF2丨=丨MF2丨=2c，由双曲线的定义丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，a=（﹣1）c，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D．9.已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{1} C．{﹣1，0，1} D．?参考答案：A考点：交集及其运算；指、对数不等式的解法．专题：集合．分析：求出集合MN，然后求解交集即可．解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：A【点评】本题考查集合的交集的求法，指数不等式的解法，注意元素的属性是解题的易错点．10.复数等于

A．

B．

C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且+．有以下结论：①当x=0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为

．参考答案：②③④【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②对．【解答】解：对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当当P是线段CE的中点时，==故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对故答案为②③④【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件．12.若存在实数使成立，则实数的取值范围是

．参考答案：13.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为

。参考答案：14.下列各结论中①抛物线的焦点到直线的距离为②已知函数的图象经过点，则的值等于③命题“存在，”的否定是“对于任意，正确结论的序号是

参考答案：①②15.在矩形中，.若分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_________.

参考答案：16.函数f（x）=ln的值域是

．参考答案：（﹣∞，0]【考点】函数的值域．【分析】先确定解析式中真数位置的范围，再由对数函数的单调性计算值域．【解答】解：∵|x|≥0，∴|x|+1≥1，从而再根据对数函数的单调性，有．故所求值域为（﹣∞，0]．【点评】本题考查的是复合函数的值域问题，只需逐步计算范围即可．17.如图，平面内有三个向量、、，其中与夹角为，与的夹角为，且，,若，则的值为

.参考答案：

6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：：（I）由题意可知：，解得

所以椭圆的标准方程为：（II）设.设直线的方程为：（存在）

联立得:

则

又

=

=

而

=

=

=为定值。

只需，解得：，从而=.

当不存在时，

此时，当时，=

故：存在，使得19.（本小题满分13分）直线与抛物线相交于A,B两点,且过的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）若以AB为直径作圆Q,求圆Q的方程.参考答案：

(1)

……6分(2)

……13分20.（本小题满分12分）已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．参考答案：（1），（2）2试题分析：（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数，得，离心率

，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值。试题解析：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设的方程为，点由消去得．令，解得，由韦达定理得．则由弦长公式得．又点P到直线的距离，∴，当且仅当，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．21.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。参考答案：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20.解：（1）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇………..2分在中，如图，又此时轮船航行时间，

即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

……..7分（2）设小艇与轮船在B处相遇，则有：故，

O

即，

解得

又时，故时，t取最小值，且最小值为此时在中，有OA=OB=AB=20

………12分故可设计航行方案