山西省朔州市镇子梁乡南马庄中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

山西省朔州市镇子梁乡南马庄中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，给出下列四个命题：①是增函数，无极值；②是减函数，有极值；③在区间及上是增函数；④有极大值为，极小值；其中正确命题的个数为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=5，所以圆心坐标为（﹣2，0），半径r=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=，化简得：a2+5b2﹣12a﹣9=0①，把切点P的坐标代入直线方程得：﹣a+2b﹣3=0②，联立①②，解得：a=1，b=2，则ab的值为2．故选C3.已知复数，则z=（

）A.4+3i B..4－3i C.－i D.i参考答案：C【分析】由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可.【详解】，故选：．【点睛】对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.4.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是A.B.C.D.参考答案：B5.设若则有（

）A

B

C

D

参考答案：D6.直线过抛物线的焦点F，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则

（

）．A.

B.

C.

D．

参考答案：C略7.若恒成立,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数，在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是

（

）A.(0,1)

B.(，1)

C.(，1)

D.(,1)参考答案：D9.复数i＋i2在复平面内表示的点在A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略10.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有

种不同的排法．参考答案：12略12.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是

。参考答案：13.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x+2y=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。参考答案：14.双曲线x2﹣2y2=4的离心率为．参考答案：

【分析】化简双曲线方程为标准方程，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=4的标准方程为：，可得a=2，b=，则c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．15.已知条件“”；条件“”，是的充分不必要条件，则实数的取值范围_____________；参考答案：略16.有下列命题：①函数y＝cos（x+）是奇函数；②函数f(x)＝4sin的表达式可改写为f(x)=4cos；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④函数y＝sin（2x+）的图象关于直线x=成轴对称图形.其中正确的是__________（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：17.已知圆O：，直线：，若圆O上恰好有两不同的点到直线的距离为1，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．参考答案：【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线的方程，利用双曲线与椭圆有相同的焦点，求出参数，即可得出结论．【解答】解：依题意可设所求的双曲线的方程为…（3分）即…（5分）又∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴λ+2λ=25﹣16=9…（9分）解得λ=3…（11分）∴双曲线的方程为…（13分）【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，属于中档题．19.已知函数为自然对数的底数(Ⅰ)当时，求函数的极值；(Ⅱ)若函数在上单调递减，求的取值范围．参考答案：（I）当时，，当变化时，，的变化情况如下表：13－0＋0－递减极小值递增极大值递减所以，当时，函数的极小值为，极大值为（II）令①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减③若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是．20.若P是极坐标方程为的直线与参数方程为（为参数，且）的曲线的交点，则P点的直角坐标为

.参考答案：P直线的方程为，曲线的方程为，联立解方程组得，，根据的范围应舍去,故点的直角坐标为P。21.已知椭圆C：(a>b>0)的四个顶点恰好是边长为2一个内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx交椭圆C于A，B两点，且在直线l：x＋y－3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值．参考答案：

22.（本题满分12分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+1nx+b，（a，b为常数）．（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；（2）设函数f（x）的导函数为，若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．参考答案：（1）∵所以直线的，当时，，将（1，6）代入，得．（2）

，由题意知