山西省朔州市峙峪中学2022年高三数学理期末试题含解析

山西省朔州市峙峪中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．2.设a＞0，若函数y=，当x∈[a，2a]时，y的范围为[，2]，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】由已知得，由此能求出a的值．【解答】解：∵a＞0，函数y=，当x∈[a，2a]时，y的范围为[，2]，∴，解得a=4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3.设函数则=（

）A.2

B.1

C.-2

D.-1参考答案：D略4.已知函数，若的解集中恰有两个正整数，则实数k的取值范围为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由，可得，构造函数，对函数求导，可得交点的范围，列出关于k的不等式，可得答案.【详解】解：可得时，没有正整数，，有两个都大于1的整数，考查图象，，可得，令，可得，可得和的交点的横坐标在，即，解得，此时正整数为3和4．【点睛】本题主要考察函数的性质，及导数在研究函数单调性和极值的种的应用，综合性大，难度较大.5.已知向量，，则A.

B.

C.

D.参考答案：C6.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

）A．11010

B．01100

C．10111

D．00011参考答案：【解析】选项传输信息110，，应该接收信息10110。7.设全集U是实数集R，，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A8.设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出．【解答】解：Q={x||x|≤3，x∈R}=[﹣3，3]，P={1，2，3，4}，则P∩Q={1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.若关于x的不等式2－>|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：A略10.已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则/(X)的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在实数集上定义运算

，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是

参考答案：；根据“零元”的定义，，故12.在中，边上的高为则AC+BC=____________.参考答案：略13.函数，则_______________。参考答案：略14.已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．参考答案：．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．15.已知sin(－α)－cosα=，则cos(2α+)=

．参考答案：

【分析】根据三角恒等变换化简，得出sin（α+）的值，再利用二倍角公式求出的值．【解答】解：∵，∴sincosα﹣cossinα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣；∴=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=．【点评】本题考查了三角恒等变换与二倍角公式的应用问题，是基础题．16.在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，，点满足，，，则线段在轴上的投影长度的最大值为

．参考答案：点的坐标为，则，又，则三点共线，，则，设与轴夹角为，则在轴上的投影长度为，即线段在轴上的投影长度的最大值为．17.已知不等式的解集为，则的值为________参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（1）试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并给出详细证明；（2）求直线BE与平面AEC所成角的正弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.证明平面AHG||平面CDE，原题即得证；（2）以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.【详解】如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.所以,因为平面平面，,所以，取CD中点O,连接EO,因为平面平面，所以，所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE,所以.因为,所以,因为,则，所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行.(2)以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系.,设所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设数列满足，，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若表示不超过x的最大整数，求的值.参考答案：解：（1）构造，则，由题意可得，故数列是4为首项2为公差的等差数列，故，故，，，以上个式子相加可得（2），∴∴则. 20.已知椭圆C的标准方程为：+=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆：+=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（﹣a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，e=，由此能求出椭圆方程． （Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣，联立，得M（），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），从而得到直线MN的方程为x﹣y=，由此能证明直线MN经过定点（）． 【解答】（Ⅰ）解：∵点P（1，）在椭圆上，∴， 又∵离心率为，∴e=，∴a=2c， ∴4a2﹣4b2=a2，解得a2=4，b2=3， ∴椭圆方程为． （Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0， 则直线CD的方程为x=﹣， 联立，得（3m2+4）y2+6smy+3s2﹣12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， ∴x1+x2=（my1+s）（my2+s） =m2y1y2+ms（y1+y2）+s2 =， 由中点坐标公式得M（，﹣）， 将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），…（9分） ∴直线MN的方程为x﹣y=，m≠±1， 令y=0得：x=， ∴直线MN经过定点（）， 当m=0，±1时，直线MN也经过定点（）， 综上所述，直线MN经过定点（）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理等知识点的合理运用． 21.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求的长．参考答案：（1）见解析；（2）．（1）取的中点，的中点，连接，，．由已知得，四边形是梯形，，．∴，∴，又∵，∴，且，∴平面，∴，由已知得，∴，又与相交，∴平面，∴，又∵，∴，∴平面且平面，∴平面平面．（2）设，则，，解得，又∵，且，∴，从而．22.已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由c=1，由椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，将﹣代入丨PQ丨，求得丨MN丨，则S=丨PQ丨丨MN丨，根据函数的单调性即可求得四边形PMQN的面积的最小值和最大值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2﹣c2=1，故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，则丨PQ丨=?，于是，…（