2022-2023学年四川省叙永校高二年级上册学期第四学月教学质量检测数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年四川省叙永第一中学校高二上学期第四学月教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．下列推断正确的是（

）A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据特殊值判断ABD，结合的单调性判断C.【详解】对于A，当，，满足，但不满足，故错误；；对于B，当，时，满足，，不满足，故错误；对于C，由在上单调递增可知C正确；对于D，当，，时，满足，，但不满足.故选：C.2．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，可求出双曲线的渐近线方程【详解】令，解得：.故选：A.【点睛】此题考查由双曲线方程求其渐近线方程，属于基础题3．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若53号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（

）A．7号学生 B．202号学生C．515号学生 D．813号学生【答案】D【分析】由等距抽样的性质可得被抽到的学生编号为且，结合各选项的学生编号即可确定能被抽取到的学生.【详解】由题设，每隔10人抽取一个学生，所以被抽到的学生编号为且，所以，只有D选项中813号学生可被抽到，此时，即.故选：D4．若方程表示圆，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合求得的取值范围.【详解】依题意，即，解得或，所以的取值范围是.故选：C5．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】求得点的坐标，由此求得.【详解】抛物线的焦点为，准线为，抛物线上一点到轴的距离为2，不妨设，则，所以.同理可得时，.故选：B6．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由几何概型公式可知，所求概率为阴影部分面积与矩形面积之比.【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1，则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的，再减去一个小正方形，阴影部分面积为，矩形的面积为6，由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为，故选：C7．焦点为，离心率为的椭圆的标准方程为（

）A． B．．C． D．【答案】B【分析】设椭圆的方程为，解方程求出椭圆的即得解.【详解】设椭圆的方程为，由题得，所以.所以椭圆的标准方程为.故选：B8．已知实数、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用代数式的几何意义以及数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：目标函数的几何意义为可行域内的点与定点连线的斜率，由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角均为锐角，联立可得，即点，当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.故选：C.9．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.【详解】不等式有解，，且，，当且仅当，即时取“="，，故，即，解得或实数的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点睛：利用的等式，结合基本不等式是解题的关键.10．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得经过两点的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得，由椭圆的离心率公式计算可得选项.【详解】解：因为经过两点的直线的方程为，又原点到直线的距离为，所以，整理得，所以，所以．又，所以，故选：D.11．已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理和正弦定理可求得外接圆半径，由此可得三棱锥的外接球半径，由球的表面积公式可求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：，，外接圆半径，又平面，三棱锥的外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积.故选：A.12．如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合点差法求得直线的方程.【详解】圆的圆心为，依题意，设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为.故选：A二、填空题13．已知焦点在轴的双曲线的渐近线为，半焦距为5，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知，所以双曲线的标准方程为.故答案为：14．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为__________.【答案】2【分析】根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为61，列方程即可求解.【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.设被污染的数字为a，则，解得：a=2.故答案为：215．如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到______平方米.【答案】【分析】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，且，由题意可列不等式，然后利用基本不等式化简，即可求解．【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，且，则由题意可得，整理得，∵，故，解得∶，即，当且仅当时等号成立，所以仓库占地面积最大能达到36平方米，故答案为：36．16．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，抛物线的准线与轴交于点于点，则四边形的面积为______.【答案】【分析】设,则,则可推出再求得梯形的高，利用梯形的面积公式，即可求得四边形的面积.【详解】由题意知抛物线，则，过B作于N，过B作于K，设交x轴于H，,设，则，,则，故在中，,由于,，,,∴,,又四边形为直角梯形，则四边形的面积为，故答案为：三、解答题17．设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】（1）见解析

（2）【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为时，解集为或；（2）由题意得：恒成立恒成立试题解析：（1）时，不等式的解集为或时，不等式的解集为时，不等式的解集为或（2）由题意得：恒成立，

恒成立.易知

，

的取值范围为：18．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数；(2)先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.【答案】(1)75(2)【分析】（1）在频率分布直方图中，频率最大的那组数据的中间值为众数；（2）确定应抽取2人，设为应抽取4人，设为，用列举法写出任取2人的基本事件，并得出竞赛得分都不低于70分的基本事件，计数后由概率公式计算概率．【详解】（1）由频率分布直方图可得众数为：75，（2）因为人数之比为，所以应抽取2人，设为应抽取4人，设为，这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：，其中，选出的2人竞赛得分都不低于70分的个数有6种；所以所求事件的概率为.19．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，.(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；(2)建立y关于t的回归直线方程；(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.附：①相关系数；②在回归直线方程中，.【答案】(1)，相关性很强；(2)；(3)万元.【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2023年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出【详解】（1）由题意得，，则，故，故，∵，∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强．（2）根据题意，得，，∴y关于t的回归直线方程为．（3）2023年对应的年份代码，当时，，故预测2023年该家庭的教育支出为（万元）．20．如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面⊥平面；(2)设，，点F在上且，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）由题意求得相关线段的长，求出根据,即可求得答案.【详解】（1）因为，,所以，所以，又因为E是中点，所以，又因为，所以，平面,所以平面，又因为平面，所以平面⊥平面.（2）点F在上且,因为，，所以，,而，所以，则,所以，，因为平面，所以,因为，所以,故所以.21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.(1)求的方程(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据抛物线的定义，得到，求得，即可求得抛物线的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义得到，根据，求得，设，得到，进而求得，因为为的中点，求得，即可求解.【详解】（1）解：由题意，抛物线，可得其准线方程，如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，因为时，，可得，又由抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：由抛物线，可得，设，因为直线的直线过点，设直线的方程为联立方程组，整理得，可得，则，因为为的中点，所以，由抛物线的定义得，设圆与直线相切于点，因为交于点，所以且，所以，即，解得，设，则，且，可得，因为，所以点为的中点，所以，又因为为的中点，可得，所以，即的面积与的面积的比值为.22．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值；(3)如图2，已知过的动直线与