2022-2023学年上海市长宁区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市长宁区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________.【答案】##0.5【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.故答案为：.2．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则______．【答案】【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.【详解】由直观图可还原,如下图所示,其中,又因所以即得故答案为:.3．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，则，解得：，又，解得：.故答案为：14．已知事件A与事件B相互独立，若，，则______．【答案】0.42##【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.故答案为：5．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：，共条，故答案为：6．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x条鱼，则，解之得故答案为：400007．正四面体ABCD的各棱长均为2，则点A到平面BCD的距离为______．【答案】##【分析】设是底面的中心，则的长是点A到平面BCD的距离，由勾股定理计算可得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，正四面体ABCD的棱长均为2，则，．故答案为：．8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______【答案】##【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径为，则，，由勾股定理得，即，解得，所以球体积为．故答案为：．10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；三局比赛后甲获胜的概率为：；所以甲最终赢得比赛的概率为：.故答案为：11．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______．【答案】##0.6【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：.故答案为：12．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【答案】.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（

）A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，又点C在平面上，所以平面，因为平面，点在直线AB上，所以平面，又平面，所以平面，所以与的交线是直线.故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生，∴，事件与事件互斥，故选项A不正确；对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”，∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确；对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是”不可能同时发生，∴，事件与事件互斥，故选项C不正确；对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是”不可能同时发生，∴，事件与事件互斥，故选项D不正确.故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（

）A．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B，利用直方图中2小时至小时之间的频率判断B;对C，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以A正确；对B，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故B正确；对C，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C正确；对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.故选：D16．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F的轨迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.【详解】如图所示：取中点，中点，连接，因为，，所以，平面，平面，所以平面，同理可证明平面，又因为，平面，所以平面平面，当F的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，此时.故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为样本中女生成绩由小到大排列为则样本中女生成绩的极差为由，可得样本中女生成绩的25百分数为（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为18．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，所以圆柱的侧面积.（2）由已知可得，两两垂直，且相等，设，则，，.又，，则.所以，又，所以，所以异面直线AC与所成角的大小为.19．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC是边长为2的正三角形．(1)求四棱锥的体积；(2)若，求证：侧面为矩形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积；（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，三棱柱的体积，三棱锥的体积，∴四棱锥的体积.（2）取中点，连接，，∵是等边三角形，是边上的中线，∴也是边上的高，即，又∵，∴是等腰三角形，∴是边上的中线，也是边上的高，即，又∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，由棱柱定义知，，，∴，四边形为平行四边形，∴侧面四边形为矩形.20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A为：两枚骰子的点数和为7，事件B为：白色骰子的点数是1．判断事件A和事件B是否独立，并说明理由；(2)设事件C为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C的概率．【答案】(1)是，理由见解析(2)【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A，B发生的概率，根据概率公式来判断A，B事件是否独立；（2）根据事件C包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，共36个，事件包含6个基本事件，即，事件包含6个基本事件，即，事件只包含，所以，，所以A，B是独立事件；（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即，所以，.综上，A，B是独立事件，.21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平