2022-2023学年上海市延安中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市延安中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合，则__________．【答案】【分析】直接解出，，利用交集含义即可得到答案.【详解】，解得或，，，故，故.故答案为：.2．角是第__________象限角．【答案】三【分析】利用终边相同的角的表示判断出与的终边相同，即可判断.【详解】因为，所以与的终边相同，为第三象限角.故答案为：三3．用有理数指数幂的形式表示__________．【答案】【分析】直接根据分数指数幂与根式的互化以及其运算法则即可得到答案.【详解】，故答案为：.4．不等式的解集为___________.【答案】【分析】将不等式变形为，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.【详解】原不等式即为，等价于，解得，因此，原不等式的解集为.故答案为：.5．幂函数在区间上为严格减函数，则__________．【答案】2【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求的值即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，，满足函数在区间上严格减函数，当时，，不满足函数在区间上严格减函数，所以.故答案为：2.6．已知，用表示__________．【答案】##【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：7．函数在区间上的反函数__________．【答案】【分析】根据反函数的定义求出的反函数即可，要注意反函数的定义域.【详解】因为开口向上，对称轴为，，所以在上单调递减，故，所以，由得，解得，因为，所以，所以.故答案为：.8．若函数的定义域是R，则a的取值范围是______.【答案】【分析】由二次不等式恒成立解对应的不等式即可.【详解】当时，要满足恒成立，即，解得，故答案为：9．当时，函数的函数值总大于1，则函数在区间________上是严格增函数【答案】【分析】根据指数函数的性质和复合函数的单调性求解.【详解】当时，函数的函数值总大于1，且，所以单调递增，所以，所以，由解得，函数在单调递增，单调递减，所以在区间上是严格增函数.故答案为：.10．函数的图像恒过定点，若点的坐标满足方程，则的最小值__________．【答案】【分析】先判断出，代入得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【详解】令，解得：.由可得：函数的图像恒过定点.因为点的坐标满足方程，所以.因为，所以.所以（当且仅当，即时等号成立）所以的最小值为.故答案为：11．点是平面直角坐标系上的两点，定义到的曼哈顿距离，已知点，点在上，则的最小值是__________．【答案】3【分析】根据定义列，再根据绝对值定义化简以及二次函数性质求最值即可.【详解】，当时，，此时函数单调递减，当时，，故此时当时，，则时，此时最小值为，当时，此时最大值为，故此时.当时，，此时函数单调递增，当，，当，故此时，当时，，函数单调递增，当时，，故此时综上最小值为3.故答案为：3.12．已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________．【答案】【详解】作出的图象如下：结合图像可知，，故令得：或，令得：，且等号取不到，故，故填.点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.二、单选题13．下列同组的两个函数是相同函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.【详解】对于A，，显然与的对应法则不同，故A错误；对于B，因为的定义域为，的定义域为，故B错误；对于C，因为的定义域为，的定义域为，故C错误；对于D，显然的解析式一样，则其定义域与对应法则相同，故D正确.故选：D.14．下列函数在定义域内不是严格增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数、对钩函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以函数是奇函数，当时，函数单调递增，且，所以函数是实数集上的严格增函数；指数函数的底数大于，所以函数是实数集上的严格增函数；对数函数的底数大于，所以函数是正实数集上的严格增函数；因为函数在上单调递减，在上单调递增，显然函数在定义域内不是严格增函数，故选：D15．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数的定义域为．①若当时，都有，则函数是D上的奇函数．②若当时，都有，则函数是D上的增函数．下列判断正确的是（

）A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①和②都是假命题 D．①是假命题，②是真命题【答案】C【分析】举出反例即可得解．【详解】解：设函数，满足①若时，都有，但该函数不是奇函数，故①错误；设函数，满足②若时，都有，但该函数不单调递增，故②错误．故选：C．16．对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（

）A．12 B．3 C．14 D．15【答案】D【分析】将表示为分段函数的形式，由此求得的元素，进而求得正确答案.【详解】当，，；当，，；当，，；当，，；当时，，，所以，所以中所有元素的和为.故选：D三、解答题17．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令，原不等式可化为：，解出的范围，即可求出的范围；（2）令，原不等式可化为：，解出的范围，即可求出的范围.【详解】（1）令，则原不等式可化为：，解得：，所以.解不等式，解得：，所以原不等式的解集为（2）令，则原不等式可化为：，解得：或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为.18．已知函数(1)函数在区间上为严格减函数，求的取值范围；(2)函数在区间上的最大值为3，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用二次函数的单调性，结合数轴法即可得解；（2）利用二次函数的性质，分类讨论对称轴的位置即可得解.【详解】（1）因为，所以开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上为严格减函数，则，所以，即的取值范围为.（2）由（1）得开口向下，对称轴为，当时，在上单调递减，所以，即，解得或（舍去），故；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得或，因为，所以；当时，在上单调递增，所以，即，解得或（舍去），故；综上：或.19．已知函数(1)作出函数的大致图像；(2)结合图像讨论函数的零点个数情况（无需证明）．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先由函数奇偶性的定义证得为偶函数，再分类讨论与两种情况，得到的解析式，结合一次函数与反比例函数的性质即可作出在上的图像，从而得到的大致图像；（2）将问题转化为与的图像的交点个数，结合图像分类讨论即可.【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，又当时，，当时，，所以，故在上是偶函数，其图像关于轴对称，故考虑在上的图像即可，因为，所以，而，所以当时，，所以，易得一次函数在上单调递增，且，即；当时，，所以，易得反比例函数在上单调递减，且；由此可作出在上的图像，而在上的图像则由在上的图像沿着轴翻折而得，又，所以在的图像如图1，.（2）令，则，所以与的图像的交点个数即为的零点个数，如图2，当时，与的图像没有交点，即没有零点；当时，与的图像有1个交点，即有1个零点；当时，与的图像有4个交点，即有4个零点；当时，与的图像有2个交点，即有2个零点；当时，与的图像没有交点，即没有零点；综上：当或时，没有零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，有4个零点.20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1)根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；当时，.所以，；（2）当时，，当时，y取得最大值，最大值为850万元；当时，，当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.21．对于函数，如果存在实数，使得，那么称为的生成函数．(1)下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由．第一组：第二组：；(2)设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)设，取，生成函数的图像的最低点坐标为．若对于任意正实数且，试问是否存在最大的常数，使得恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用“生成函数”的定义直接求解；（2）先求出，令，把题意转化为.利用二次函数的单调性求出实数的取值范围.（3）先求出.设，整理得，设，.利用对勾函数的性质求出.即可求出最大的常数.【详解】（1）当时.假设存在实数，使得，所以，所