2022-2023学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题一、填空题1．过平面外一点与该平面平行的平面有_____个．【答案】1【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.【详解】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，所以假设不成立，所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．故答案为：1．2．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______．（用“观测数据”或“实验数据”填空）【答案】实验数据【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据.【详解】由题意，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据.故答案为：实验数据.3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.【答案】##0.614【分析】根据经验概率的定义可求出结果.【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为，所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于.故答案为：4．已知球的表面积为,则该球的体积为______.【答案】【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．【详解】设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故答案为．【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人.【答案】【分析】根据题意可知，随机抽查比例是，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句也说不出的人数，按比例计算即可得出结果.【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出，又抽查比例为，所以，该校高二年级的400名学生中共有人对“二十四节气歌”一句也说不出.故答案为：6．某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为___________．【答案】0.7##【分析】利用方差的公式求解.【详解】解：数据为6，6.5，7，7，8.5，所以平均数为：，则方差为，故答案为：0.77．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．【答案】【分析】根据直观图面积是原图形面积的倍即可得出结果.【详解】由题意可知，原图形面积为，又直观图面积是原图形面积的倍，所以直观图的面积为.故答案为：8．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为_________．【答案】3【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解.【详解】如图，设二面角为，点，且，过点A作平面，垂足为，连接，∵平面，，∴，又∵，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，则，故二面角的平面角为，在Rt△ABC中，，故点A到平面的距离为3.故答案为：3.9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．【答案】【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，计算即可得解.【详解】棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为.故答案为:10．已知事件、互斥，，且，则_______.【答案】##0.8【分析】由已知事件、互斥，且，可求，进而根据对立事件概率公式得到答案.【详解】解：事件、互斥，且，解得,.故答案为：.11．小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，每一局赢的概率都仅为.小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用_________________.(填选“三局两胜制”或“五局三胜制”)【答案】三局两胜制【分析】分别计算出“三局两胜制”和“五局三胜制”下小明赢的概率，比较概率大小，确定选法.【详解】因为小明每一局赢的概率都为，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为，采用“五局三胜制”时小明获胜的概率为，所以小明选择“三局两胜制”时在比赛中赢的几率更大些，故答案为：三局两胜制.12．如图，有一边长为2cm的正方形，分别为、的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为；

②三棱锥的体积为；③三棱锥的外接球表面积为；

④三棱锥的内切球半径为.则以上结论中，正确结论是______________.（请填写序号）【答案】①②③【分析】根据折叠规则可确定三棱锥的表面积与原正方形面积相等，即可判断①；再利用垂直关系找出三棱锥的底面积和高可求得其体积，能判断②；利用三条棱两两垂直可构造长方体求外接球的半径，即可判断③；利用等体积法可求得三棱锥的内切球半径判断④，得出结论.【详解】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形的面积相等为，即①正确；设三点重合于点，则制成三棱锥如下图所示：易知，根据几何关系可知，所以平面所以三棱锥的体积，即②正确；由可知，三棱锥的外接球与以为棱构造的长方体的外接球相同，设三棱锥的外接球半径为，则满足所以，其表面积为，故③正确；设三棱锥的内切球半径为，由①知三棱锥的表面积为利用等体积法可知，得，所以三棱锥的内切球半径为，即④错误；故答案为：①②③二、单选题13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（

）A．条形图 B．茎叶图 C．散点图 D．扇形图【答案】C【分析】根据相关图的特征理解判断.【详解】条形图：是用宽度相同的条形的高度（或长度）表示数据的频数，故符合题意；茎叶图：即可以保留原始数据又可以方便记录数据，故符合题意；散点图：用两组数据构成多个坐标点，通常用于比较跨类别的成对数据，不符合题意；扇形图：是用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各个部分占总体的百分数，扇形图可以容易看出各个部分所占总体的比例，故符合题意；故选：C.14．下列说法正确的是（）A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥【答案】B【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.【详解】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A错误.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B正确.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D错误.故选：B15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（

）A．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C．甲班参赛同学得分的平均数为84D．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89【答案】D【分析】A.利用极差的定义求解判断；B.利用中位数的定义求解判断；C.利用平均数的定义求解判断；D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A，甲班参赛同学得分的极差为，乙班参赛同学得分的极差为，故正确；对B，甲班参赛同学得分的中位数是，乙班参赛同学得分的中位数是，故正确；对C，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确；对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，，取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为，故错误.故选：D16．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是以上结论中，正确的个数为（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断.【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故正确；故选：C.17．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且，M为线段AB中点，其坐标为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得以为直径的圆过点O，对条件变形得到，从几何意义出发得到圆M与直线相切，从而得到圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】因为，所以，即以为直径的圆过点O，因为M为线段AB中点，坐标为，，则，几何意义为圆M的半径与点M到直线的距离相等，即圆M与直线相切，则圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，即.故选：B三、解答题19．如图，在正方体中，为的中点.(1)求异面直线与所成的角；(2)判断与平面的位置关系，并说明理由.【答案】(1)(2)平面，理由见解析【分析】（1）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可.（2）通过线面平行判定定理判断.【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角.设，则，，所以.所以异面直线与所成的角为（结果也可写成或）.（2）平面连接，交于，连接,在中，分别为、中点，为的中位线，所以.因为平面上，而平面上，由直线与平面平行的判定定理得，平面.20．不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.(1)甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；(2)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为.如果，算甲赢；否则算乙赢.这种游戏规则公平吗？请说明理由.【答案】(1)(2)不公平，理由见解析【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【详解】（1）设事件两球编号均为奇数为事件，由已知随机试验的样本空间为共16个基本事件，事件包含基本事件，所以，所以事件两球编号均为奇数的概率为；（2）由(1)事件包含基本事件，所以，所以事件甲赢的概率为，故事件乙赢的概率为，因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.21．如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积；（2）根据线面角的定义作出直线与平面所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.【详解】（1）由题意可得，所以底面圆面积，圆锥的高，所以圆锥的体积为.圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长圆锥的侧面积为.（2）取中点，连接，如下图所示：在中，中位线，易知平面可得平面，所以即为直线与平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直线与平面所成的角的正切值为.22．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】(1)(2)平均数为74分钟(3)【分析】（1）结合频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程求解即可；（2）将各组的频数计算出来，直接计算平均值即可3；（3）先算出每组要抽取的人数，编号写出样本空间，再计算概率.【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，得，（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.（3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为10人、20人、20人，因此中抽取1人，记为a,中抽取2人，记为b,c，中抽取2人，记为d,e，再从中任选2人进行调查，样本空间共10个样本点，设事件A为“恰好有1