2022-2023学年上海市浦东新区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题一、填空题1．____________.（用符号“”或“”填空）【答案】【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可.【详解】解：.故答案为：.2．已知集合，且，则实数a的值为____________.【答案】或【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为，，所以，解得或，故答案为：或3．函数的定义域是__________.【答案】【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域是.故答案为：.4．是2的倍数，是6的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.【答案】必要非充分【分析】由充分性和必要性的定义即可得出答案.【详解】是2的倍数推不出是6的倍数，如，但是6的倍数能推出是2的倍数.故是的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.5．用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.【答案】【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解.【详解】，故答案为：6．设，则关于x的不等式的解集是____________.【答案】【分析】由于，根据指数函数的单调性可得，解不等式即可.【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：7．已知一元二次方程的两个实根为，则____________.【答案】3【分析】先利用韦达定理求出，再由，代入即可得出答案.【详解】一元二次方程的两个实根为，所以，所以.故答案为：3.8．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.【答案】①②④【分析】根据集合的概念即可判断.【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.故答案为：①②④.9．设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.【答案】①③④【分析】根据不等式的性质一一判断求解.【详解】对于①,因为，且，根据不等式的可加性，所以，故①正确；对于②，例如有，故②错误；对于③,，因为，所以，即，故③正确；对于④，因为，所以且，所以，故④正确，故答案为：①③④.10．已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.【答案】9【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解.【详解】因为对数函数（且）的图象经过点，所以解得，所以，因为该函数图象经过点，所以解得，故答案为:9.11．已知正数a和b满足，用a及b表示____________.【答案】【分析】令，由，可得，进而可得以现由即可得答案.【详解】解：因为均为正数，令，则有，，又因为，所以，所以，所以，所以所以.故答案为：12．某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则b的取值范围____________.【答案】【分析】由题意转化为恒成立，即求的最小值，根据可得，从而得到答案.【详解】由，可得，由得，对任意，恒成立，转化为求的最小值，因为，所以，所以，解得，当且仅当即时等号成立，所以b的取值范围为.故答案为：.二、单选题13．下列函数与函数相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当两函数定义域相同，对应关系相同时，为同一函数，对四个选项中的函数一一分析定义域和对应关系，选出答案.【详解】函数定义域为R，A选项，定义域为，A错误；B选项，定义域为R，且，与函数相同，B正确；C选项，，与函数不相同，C错误；D选项，定义域为，D错误.故选：B14．下列函数中，值域是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选：D15．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（

）A．幂函数的图象一定经过和B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称C．幂函数的图象一定不经过第四象限D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，函数的图象不经过点，所以A不正确；对于B，是非奇非偶函数，所以B不正确；对于C，对于幂函数，当时，一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确；对于D，，则令，解得：或或，所以幂函数和有三个交点，所以D不正确.故选：C.16．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（

）A．在上是严格增函数 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值为2【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.【详解】任意，恒成立，且，假设，则有，显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，取，有，则，于是得，，，，，对于A，函数，，，并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确；对于B，，则，B正确；对于C，，则，而，有，又，因此，C正确；对于D，，，则有，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确.故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题17．解不等式.【答案】【分析】对两边同时平方，由一元二次方程的解法即可得出答案.【详解】由可得：，则，则或.故不等式的解集为：18．已知集合，集合，用列举法表示集合.【答案】【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合.【详解】联立，解得：或，故19．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）【答案】居室的宽为5m时，居室的最大总面积是.【分析】由题意，若把材料全部用完，得到两间居室的总长为，再由长方形的面积公式建立模型求解.【详解】解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为，设所建造的居室总面积，则，当居室的宽为5m时，居室的面积最大，居室的最大总面积是.20．小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知为正数，求证：.”得到以下解法：构造函数，因为，当且仅当时取等号；所以对于函数可得，当且仅当时，即，当且仅当时可取等号.阅读上述材料，解决下列两个问题：(1)若实数不全相等，请判断代数式“”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由）(2)求证：，并指出等号成立的条件.【答案】(1)正(2)证明见解析，当且仅当时取等号【分析】（1）将代数式化为，由此可知恒正；（2）由，可知，由此可得结论；根据的条件可得取等条件.【详解】（1），不全相等，，取值为正.（2）由（1）知：（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号）.21．已知是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.(1)判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由；(2)已知函数在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；(3)证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”.【答案】(1)不是“可逆函数”，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据对勾函数的单调性可确定与恒有两个不同的交点，知不是“可逆函数”；（2）任取，可得，知在上为增函数，符合“可逆函数”定义；（3）当时，任取且，由可知充分性成立；假设当是“可逆函数”时，，构造方程，化简整理为一元二次方程，由方程有两个不等实根可知，与“可逆函数”定义矛盾，知假设错误，必要性得证.【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增，，则与恒有两个不同的交点，记为，则，，不符合“可逆函数”定义，不是“可逆函数”.（2）任取，则；在区间上是增函数，，又，，，在区间上是增函数，则当时，恒成立，是“可逆函数”.（3）先证明充分性：当时，，则的定义域为；任取且，则，即，为“可逆函数”，充