2022-2023学年北京市西城区高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】_第1页
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文档简介

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1.直线的倾斜角等于(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由得,据此可得答案.【详解】由得,得直线斜率为,则倾斜角为.故选:D2.抛物线的准线方程为(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据抛物线方程求出,进而可得焦点坐标以及准线方程.【详解】由可得,所以焦点坐标为,准线方程为:,故选:D.3.在空间直角坐标系中,点,则(

)A.直线坐标平面 B.直线坐标平面C.直线坐标平面 D.直线坐标平面【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量,根据与法向量的关系判断.【详解】,坐标平面的一个法向量是,坐标平面的一个法向量是,坐标平面的一个法向量是,这三个法向量与都不平行,但,点均不在坐标平面上,因此与坐标平面平行,故选:C.4.在的展开式中,的系数为(

)A.6 B.12 C.24 D.36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式,然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式,令,得,所以在的展开式中,的系数为,故选:C5.在长方体中,,则二面角的余弦值为(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】画出长方体,为二面角所成的平面角,求出的值即可得出答案.【详解】长方体中,,,,平面,平面,,又平面平面,为二面角所成的平面角,,所以二面角的余弦值为.故选:D.6.若直线与圆相离,则实数的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离,所以圆心到直线的距离,解得或,故选:B.7.2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相,要求2名教师分别站在两侧,则不同的站法共有(

)A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法,3名学生排在中间有种排法,所以共有种排法;故选:B.8.设,则“”是“直线与直线平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或,根据范围大小关系得到答案.【详解】直线与直线平行,则,或,验证均不重合,满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.9.如图是一个椭圆形拱桥,当水面在处时,在如图所示的截面里,桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面,水面宽,那么当水位上升时,水面宽度为(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为:,求直线被椭圆所截得的弦长,代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴,水面的垂直平分线所在直线为轴,建立平面直角坐标系,根据已知条件可知:桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为:,当水位上升时,水面的宽度也即当时,直线被椭圆所截的弦长.把代入椭圆方程可得:,所以当水位上升时,水面的宽度为,故选:.10.设点,,直线,于点,则的最大值为(

)A. B.6 C.4 D.【答案】B【分析】依题意可得直线的方程,再联立直线的方程,消后可得到的轨迹方程为,则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径,由此即可求解.【详解】依题意可得直线的方程为,联立,消整理得,所以点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,故的最大值为,故选:B.二、填空题11.设,则过线段的中点,且与垂直的直线方程为__________.【答案】【分析】求出线段的中点坐标和斜率,利用点斜式写出直线方程.【详解】因为,所以线段的中点,且.所以与垂直的直线的斜率为,所以过线段的中点,与垂直的直线方程为,即.故答案为:12.在的展开式中,常数项为_____.【答案】【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为,所以令,解得,所以常数项为故答案为:.13.设为抛物线的焦点,点在抛物线上,点,且,则__________.【答案】【分析】由题意可设,且满足,因为,由两点间的距离公式代入可求出,即可求出.【详解】由题意可得,,,设,且满足,此时,则,解得:,此时,所以,故.故答案为:14.记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.【答案】2(满足皆可)【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解:,所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点,只需,即,可满足条件“直线与C无公共点”所以,又因为,所以,故答案为:2(满足皆可)15.如图,在正方体中,为棱的中点,是正方形内部(含边界)的一个动点,且平面.给出下列四个结论:①动点的轨迹是一段圆弧;②存在符合条件的点,使得;③三棱锥的体积的最大值为;④设直线与平面所成角为,则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【分析】对于①,利用线线平行可证得平面平面,进而知动点的轨迹;对于②,利用垂直的性质的可判断;对于③,利用三棱锥的体积公式可求得;对于④,利用线面角的定义结合三角形可求解;【详解】对于①,分别取和的中点,连接,,,由正方体性质知,,平面,平面,所以平面,又平面,,所以平面平面,当在上运动时,有平面,故动点的轨迹是线段,故①错误;对于②,当为线段中点时,,,又,,故②正确;对于③,三棱锥的体积,又所以三棱锥的体积的最大值为,故③正确;对于④,连接,则与平面所成角,则,又,所以的取值范围是,故④正确;故正确结论的序号是①③④,故答案为:②③④三、解答题16.从4男3女共7名志愿者中,选出3人参加社区义务劳动.(1)共有多少种不同的选择方法?(2)若要求选中的3人性别不能都相同,求共有多少种不同的选择方法?【答案】(1)35(2)30【分析】(1)7名志愿者中选出3人共有种;(2)选中的3人性别不能都相同,即为1男2女或2男1女,即.【详解】(1)7名志愿者中选出3人共有种;(2)选中的3人性别不能都相同,即为1男2女或2男1女,则有种.17.如图,在四棱锥中,平面,底面为正方形,为线段的中点,.(1)求证:;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直,即可得;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求得平面与平面的法向量,即可求得二面角的余弦值【详解】(1)由平面,根据线面垂直的性质定理可知,又因为底面为正方形,所以,又因为,且PA,BA含于平面PAB,所以平面;为线段的中点,平面,所以,(2)根据题意可知,以A点为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则;则,设平面的一个法向量为,得,令可得,,即;易知,是平面的一个法向量,设平面与平面的夹角为,则所以,平面与平面夹角的余弦值为18.在平面直角坐标系中,,曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.(1)若曲线是一个圆(或圆的一部分),求的值;(2)若曲线是一个双曲线(或双曲线的一部分),且该双曲线的离心率,求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意知,的斜率存在,设代入斜率公式,再由斜率之积为定值,化简满足圆的条件即可求得的值.(2)由题意知,的斜率存在,设代入斜率公式,再由斜率之积为定值,化简满足双曲线的条件及离心率即可求得的取值范围.【详解】(1)设且,,由题意知,的斜率存在,则即,可化为,因为曲线是一个圆(或圆的一部分),所以,可化为,所以解得.(2)设且,,由题意知,的斜率存在,则即,可化为,因为曲线是一个双曲线(或双曲线的一部分),所以,可化为,所以,因为,所以解得,所以的取值范围为.19.已知椭圆的一个焦点为,其长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆的方程;(2)记斜率为1且过点的直线为,判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)不存在【分析】(1)由及,根据,解得,写出方程.(2)先假设存在,设出直线的方程,与椭圆方程联立,求得中点坐标,代入,求得,验证,得结论不存在关于直线对称的两点.【详解】(1)椭圆的方程(2)假设存在关于对称的两点,设的方程为直线与椭圆的方程联立得设则,的中点代入解得此时,所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.20.如图,在四棱柱中,平面,为线段的中点,再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①:;条件②:.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)求点到平面的距离;(3)已知点在线段上,直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.【答案】(1)(2)(3)的长为或.【分析】选①或②,都能得到,,后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角,点面距离,面面角解决问题.【详解】(1)若选择①,因平面ABCD,平面ABCD,则,又,平面,平面,,则平面,又平面,则;若选择②,做,交AB于F,又,则四边形DCFA是平行四边形,则,又,则.则在中,,得,又,则.故,则如图建立以A为原点的空间直角坐标系.则,得,则直线与所成角的余弦值为:.(2)因,则.设平面的法向量为,则,取,则求点到平面的距离.(3)因点在线段上,则设,其中.又,则.又,设平面法向量为,则,取,则直线与平面所成角的正弦值为:或.得线段的长为或.21.已知椭圆的焦点在轴上,且离心率为.(1)求实数的值;(2)若过点可作两条互相垂直的直线,且均与椭圆相切.证明:动点组成的集合是一个圆.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)根据椭圆的离心率即可求解,(2)联立直线与椭圆的方程,根据相切得判别式为0,进而代入切线中的,化简即可求解.【详解】(1)椭圆的焦点在轴上,且离心率为,所以,解得

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