CAP线性代数第一章空间与向量

CAP线性代数第一章空间与向量衡水中学姜宗帅什么是线性代数？已经学过：一元一次方程函数（变换）进一步研究方向：多元高次（非线性）线性代数主要研究：

n元线性方程组、n维向量空间上的线性变换数------向量系数------系数矩阵（运算）研究方法：具体------抽象三维几何空间------n维向量空间

本章基本内容介绍（1）向量及其线性运算（2）向量的乘法运算（3）平面的方程（4）直线的方程（5）位置关系、夹角与距离第1节向量及其线性运算一、向量的概念在数学中常用带方向的线段来表示向量.具有大小和方向的量叫向量或矢量.如速度,力,加速度等.向量的大小叫向量的模.向量的模记为自由向量:与起点无关的向量叫作自由向量.(即可以平行移动)单位向量:模等于1的向量称为单位向量.反向量(或负向量):与向量大小相等,方向相反的向量叫做的反向量,记为.零向量:模等于0的向量称为零向量.记为.零向量没有确定的方向,也可以说方向任意.相等向量:两个向量与,它们平行、同向且模相等,称为相等向量.记作.二、向量线性运算向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则向量的加法满足交换律和结合律向量的减法

向量

与

的和向量为

,则向量

定义为

与

的差(向量),记为

.向量与数的乘法(数乘)

设是一实数,向量与的乘积定义为一个向量,该向量的大小和方向按如下方向确定:向量与数的乘法满足下列性质:(,为实数)(结合律)(分配律)(分配律)

两个非零向量

与

平行(共线)的充要条件是存在确定的实数

,使得

.与非零向量

同向的单位向量为

当=-1时,是与

大小相等、方向相反的向量,称为

的反向量,记作.三、向量的分解与投影以分别表示沿x轴,y轴,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的一组基向量.

1.向量的坐标2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作方向余弦的性质:例1.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例2.设点A

位于第一卦限,解:已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹3.向量在轴上的投影16空间一点在轴上的投影17空间一向量在轴上的投影18关于向量的投影性质(1)证20两个向量的和在轴上的投影等于这两个向量在该轴上的投影之和.

关于向量的投影性质(2)（可推广到多个向量）关于向量的投影性质(3)

实际上，向量的投影就是一类重要的线性变换，保持向量的加法和数乘运算.注意：区别投影和投影向量

第2节向量的乘法运算一、向量的内积定义内积满足下列性质:两向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.两个非零向量互相垂直的充要条件是两个非零向量的夹角的余弦公式例1解例2解定义注意：外积也称为“叉乘积”“向量积”二、向量的外积//由外积的定义可得：想一想，为什么？外积的几何意义：⍺外积的几何意义2(a)(b)aOb𝝷𝝷a’a×baOb𝞹－𝝷a’a×b𝝷外积满足下列运算规律：（1）反交换律

（3）分配律：（2）若为任意实数想一想，为什么？直角坐标系下外积的坐标表达式o

外积的坐标表达式很难记忆！怎么办？一般基底下，向量的外积解解三角形ABC的面积为解三.向量的混合积2.混合积的性质此性质非常重要！3.用直角坐标计算混合积分析:解例2例3.已知不共面的四个点O(0,0,0),A(2,3,1),B(4,5,1)C(1,2,3),求以OA,OB,OC为棱所构成的四面体体积.解讨论：内容小结设1.向量运算加减:数乘:内积:外积:混合积:2.向量关系:第3节平面及其方程一、平面的点法式方程垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量.根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为

(x-2)-2(y+3)+3z=0

x-2y+3z-8=0.求过点(2,-3,0)及法向量=(1,-2,3)的平面方程.例1解二、平面的一般式方程因为平面过原点,所以将x=y=z=0代入平面的一般方程,得D=0,故过原点的平面方程为

Ax+By+Cz=0(1)过原点的平面方程(2)平行于坐标轴的平面方程如果平行于x轴,则平面的法向量=(A,B,C)与x轴的单位向量=(1,0,0)垂直,故,即

A1+B0+C0=0所以A=0.由此得平行于x轴的平面方程为

By+Cz+D=0类似有:平行于y轴的平面方程为Ax+Cz+D=0平行于z轴的平面方程为Ax+By+D=0因为过坐标轴的方程必过原点,且与该坐标轴平行,所以可得过x轴的平面方程为:

By+Cz=0类似地过y轴的平面方程为：Ax+Cz=0过z轴的平面方程为：Ax+By=0(3)过坐标轴的平面方程如果平面垂直于z

轴,则法向量可以取与z平行的任一组非零向量(0,0,C),则平面方程为

Cz+D=0.类似有垂直于x轴的平面方程为Ax+D=0垂直于y轴的平面方程为

By+D=0(4)垂直于坐标轴的平面方程例2解指出下列平面的位置特点，并作出图形:(1)x+y=4;(2)z=2.(1)式中不含z,所以平面平行于z轴.(2)z=2表示过点(0,0,2)且垂直于z轴的平面例3解定理

设两个平面于一条直线，则以为轴的同轴平面束的方程是

中是不全为零的任意实数.(*)交其

我们把空间中过同一条直线的一切平面的集合叫做同轴平面束，叫做平面束的轴.

三、同轴平面束

又因与的交点坐标既满足平面的方程,又满足平面的方程,因此必满足方程(*).于是，(*)式总代表过直线的平面.

事实上,将(*)式可改写为

此(*)式是一个三元一次方程,它表示一平面.其中否则便有不能全为零，这与和是二相交平面的假设相矛盾,因

证明(1)对于的任意两个不同时为零的值,(*)式表示一个过直线的平面.取即可.

设在平面上任取点使其不在轴上，那么(*)式表示的平面要过点的条件是即要求

,故因不全为0,(2）对于过直线的任意一个平面,都可以选取适当的值，使得的方程具有(*)式的形式.例4求过点P(-1，0，1)，且经过两个平面x+3y-z=0和x-y+z+1=0的交线的平面的方程.解3x+y+z+2=0四、平面小结：[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]同轴平面束空间直线可看成两平面的交线.该式称为空间直线的一般式方程L注(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.(1)第4节直线及其方程一、空间直线的一般式方程二、空间直线的点向式方程和参数式方程

与已知直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量.从而有:叫做直线的点向式方程或对称式方程.直线的对称式方程与参数式方程

很容易互相转化注意：此处允许分母为0如何将直线的对称式方程化成一般式方程？当m,n,p均不为0时？例1解例2解-72-解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例3求过点且与两平面和的交线平行的直线方程.-73-例4求直线在平面上的投影直线方程。解所求直线在与已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，首先求过已知直线的平面束方程为即-74-所求直线方程为因此第5节位置关系、夹角与距离一、两平面的位置关系二、直线与平面的位置关系则三、直线与直线的位置关系例1设两条直线分别为对r和t加以讨论，分析两条直线在空间中的位置关系.四、夹角例1解到直线的距离为

点d

解法一求出的一个方向向量记的方向向量为又点依题意，与相交必共面,因此混合积因为与平行，所以有于是有又联立上述两个方程解得.因此