初中数学第五章

第五章ABCDO1234邻补角的定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.对顶角的定义：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.对顶角相等两个邻补角的和是180°例

1（1）下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？

（1）

（2）

（3）1211222．细心观察，归纳定义12（2）（3）（4）21（1）12（5）12122．细心观察，归纳定义例

1（2）下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？

例

1(3)请分别画出图中∠1的对顶角和∠2的邻补角．2．细心观察，归纳定义21例

1(4)如图，三条直线AB

，CD，EF相交于点O，∠AOE的对顶角是

，∠EOD的邻补角是

．ABFCDEO2．细心观察，归纳定义∠FOB∠FOD、∠COE1234ab如图，∠2是∠1的3倍，分别求∠1、∠2、∠3、∠4的度数。解：因为∠2是∠1的3倍，设∠1为x°,则∠2为3x°。因为∠1+∠2=180°所以x°+3x°=180°4x°=180°x°=45°所以∠1为45°，∠2为135°由对顶角相等得∠3=∠1=45°

∠4=∠2=135°（1）垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，AB⊥CD，垂足为Ｏ．记作：AB⊥CD于点Ｏ．（2）符号语言：

因为AB⊥CD，

所以∠AOC=90°．

反之，因为∠AOC=90°，

所以AB⊥CD．问题2：（1）两条直线垂直和相交是什么关系？（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系

有3种：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情况不能，因为垂直是相交的特殊情况问题2：（3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？无数条垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．对三条直线相交按交点的个数分为三种情况：同位角：两个角分别在被截线的同一方，并且都在截线的同侧．具有这种位置关系的一对角叫做同位角．直线AB和直线CD被直线EF所截被截线：直线AB和直线CD截线：直线EF

如∠1和∠5

，∠2和∠6

，∠3和∠7，

∠4和∠5

内错角：两个角都在被截线之间，并且分别在截线两侧．具有这种位置关系的一对角叫做内错角．如∠3和∠5∠4和∠6同旁内角：两个角都在被截线之间，并且都在截线的同一旁．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．如∠3和∠6∠4和∠5练习：分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．同位角：∠l与∠5，

∠2与∠6．内错角：∠4与∠6，

∠3与∠5．同旁内角：∠4与∠5，

∠3与∠6．同位角：∠l与∠3，

∠2与∠4．内错角：无．同旁内角：∠2与∠3．平行概念：同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行．换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b是平行线,记作a∥b．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行．如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.ABCD判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.判定方法1

同位角相等，两直线平行．判定方法2

内错角相等，两直线平行．判定方法3

同旁内角互补，两直线平行．平行线的判定（1）由∠CBE=∠A可以判定哪两条直线平行？

根据是什么？例2

如图，

BE是AB的延长线.答：

AD∥BC.根据同位角相等，两直线平行.（2）由∠CBE=∠C可以判定哪两条直线平行？

根据是什么？例2

如图，

BE是AB的延长线.答：

AE∥CD.根据内错角相等，两直线平行.（3）由∠D+∠A=180°可以判定哪两条直线平

行？根据是什么？例2

如图，

BE是AB的延长线.答：

AE∥CD.根据同旁内角互补，两直线平行.性质1两直线平行，同位角相等．性质2两直线平行，内错角相等．性质3两直线平行，同旁内角互补．（2）结合图形回答问题：答：相等.根据两直线平行，内错角相等.1．梳理旧知，归纳方法①如果AB∥CD,∠1与∠2相等吗？为什么？（2）结合图形回答问题：答：∠1=∠3．根据两直线平行，同位角相等．1．梳理旧知，归纳方法②如果DE∥FB,能得到∠1与∠3的关系吗？为什么？（2）结合图形回答问题：答：

AD∥CB．根据两直线平行，同旁内角互补．1．梳理旧知，归纳方法③根据哪两条直线平行可以得到∠A+∠ABC=180º

？为什么？对比平行线的性质和判定方法条件结论判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补理由如下：∵

CE∥BF，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠2，∴∠2=∠B．（等量代换）∵∠2和∠B是内错角，∴

AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．问题1已知，如图，∠1=∠2，CE∥BF，试说明：

AB∥CD．答：AB∥CD问题2

已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什么？答：CD∥EF．理由如下：∵

∠AGD=∠ACB，∴

GD∥BC.（同位角相等，两直线平行）

∵∠1和∠3是内错角，∴∠1=∠3（两直线平行,内错角相等）.∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.（等量代换）∵∠2和∠3是同位角，∴

CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.3（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．像这样判断一件事情的语句，叫做命题。

问题判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，线段最短；（）（2）请画出两条互相平行的直线；（）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）

√

√命题的结构命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分就是结论．问题5

下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．问题问题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．

√

√

√命题的真假真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．

假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．问题1

请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（3）如果

，那么a=b；（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．归纳：（1）把一个图形整体沿某一直线方