力学第二章第六节 刚体的定轴转动(全部)

一.刚体特殊的质点系，——理想化模型形状和体积不变化§2.6.1

刚体运动概述2.6刚体的定轴转动刚体是一个特殊的质点系：任意两点没有相对位移。二.刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行—刚体平动平动的特点:刚体中各质点的运动情况相同.结论：刚体的平动可归结为质点运动.角坐标1.描述

刚体绕定轴转动的角量定轴转动时，刚体上的任一点都绕同一轴作圆周运动，半径为该点到轴的垂直距离，圆心为垂足。该圆所在的平面称为转动平面。刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动转轴固定不动—定轴转动(运动学方程)三、定轴转动转动平面参考方向角速度角加速度2.定轴转动刚体上各点的速度和加速度P×ω,刚体参考方向θzOr'基点O任意点都绕同一轴作圆周运动,且，

都相同质点系的定律或定理+定轴转动的刚体的特殊性定轴转动刚体的动力学

思路：把质点系对轴的角动量定理应用的刚体上，就得刚体定轴转动定理§2.6.2刚体绕定轴转动定理转动平面质元在转动平面内做圆周运动（刚体定轴转动定律）对质量连续分布的刚体r刚体的转动惯量（做定轴转动的刚体的角动量）加速转动方向与力矩方向满足右手螺旋！

刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的；

刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物理量都是相对于同一转轴而言的；

讨论

刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因。求M是关键，方法同质点系所受外力对轴的力矩。转动平面(1)外力不与轴垂直转动平面(2)外力与轴垂直

（切向力）例题：质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．假设轮盘逆时针加速转动，力矩方向以垂直纸面向里为正（轴的正方向）。正方向正方向N方向垂直纸面向外.假设轮盘逆时针加速转动，规定力矩方向以垂直纸面向外为正。（加速转动方向与力矩方向满足右手螺旋！）例：一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg，半径为R＝0.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝，其初角速度w0＝10.0rad/s，方向垂直纸面向里．求：(1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到w＝0时，物体上升的高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向

正方向（2）当w＝0时，物体上升的高度h

=

Rq

=

6.12×10-2m

(3)10.0rad/s方向垂直纸面向外.解（1）受力分析如图。TR＝Jb

a＝Rb

b

=

mgR/(mR2＋J)mg－T＝ma

方向垂直纸面向外（是正值，与力矩方向一致）轮盘逆时针加速转动，规定力矩方向以垂直纸面向外为正。1、

刚体绕定轴转动的转动动能对刚体上所有质点的动能求和在刚体上任取一质点Pi质点Pi的动能为（刚体绕定轴转动的转动动能）

讨论

与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质点的质量m。§2.6.3

定轴转动的动能定理2力矩的功O

功的定义力矩作功的微分形式对一有限过程若

M=C(积分形式）力的累积过程——力矩的空间累积效应••P(力矩的功就是力的功)讨论(1)合力矩的功(2)内力矩作功之和为零。(3)力矩的功率设在合外力矩M的作用下3刚体绕定轴转动的动能定理——合力矩功的效果（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）当刚体角速度从t1时刻的ω1改变为t2时刻的ω2时，合外力矩对刚体所作的功为（刚体绕定轴转动的动能定理）合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状态转动动能的增量。若以hC表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。4刚体的重力势能

结论：如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。受力分析如图钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）例解求放手后钟摆摆到角位置时的角速度。钟摆系统的总转动惯量还有其他方法吗？利用转动定理！由刚体定轴转动定律，有而

例一根长为

l

，质量为

m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求它由此下摆

角时的此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx例一根长为

l

，质量为

m

的均匀细直棒，可绕水平光滑轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置.求它由此下摆

角时的系统机械能守恒（棒、地球）。

重力势能零点：取细杆的水平位置.则有由此解得解图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r

的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为

m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体

A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离

h，所用时间为t，例解分析（机械能）：求物体A对Z

轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。机械能守恒若滑轮质量不可忽略，怎样？

如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。已知滑轮半径为r=

0.3m

，转动惯量为J=0.5kgm2。滑块的质量为m=2kg

，斜面倾角为

=370

，弹簧的劲度系数为k=20Nm-1

。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。(1)当滑块沿斜面滑下1.0m时，它的速率多大？(2)滑块沿斜面将下滑多远？(3)当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？例解求

设滑块沿斜面下滑距离为x时的速率为v，则取弹簧、滑轮、滑块、地球为研究系统，系统机械能守恒。取滑块的初始位置为重力势能零点，弹簧自然长度点为弹性势能零点。（参数）

r=

0.3m