理论力学第2版07点的运动学

第七章点的运动学第一节矢量法运动学：研究物体在运动过程中的几何量随时间的变化规律运动学运动学中涉及的主要参量：位置位移路程轨迹速度加速度等运动学可分为点的运动学和刚体运动学一、矢量法中点的运动方程运动方程：位置参量与时间的函数关系第七章点的运动学第一节矢量法一、矢量法中点的运动方程运动方程：位置参量与时间的函数关系在矢量法中，用由固定参考来确定动点

M的位置。矢量法中点的运动方程为点

O

指向动点

M的矢径◆

矢径端点的轨迹即为动点

M的运动轨迹二、点的速度t时间内的位移为t时间内的平均速度：t时刻的瞬时速度：速度方向：一定沿着点在轨迹处的切线方向三、点的加速度t时间内的速度增量为t时间内的平均加速度：t时刻的瞬时加速度：加速度方向：一定指向轨迹的凹向第二节直角坐标法一、直角坐标法中点的运动方程直角坐标法中点的运动方程为利用直角坐标来确定动点的位置2）由运动方程消去时间参数t即得动点的轨迹方程说明：1）由运动方程可直接确定动点的位置与位移二、点的速度在直角坐标法中，点的速度其中，点的速度在

x

轴、y

轴上的投影根据速度投影即可方便确定速度的大小和方向三、点的加速度在直角坐标法中，点的加速度其中，点的加速度在

x

轴、y

轴上的投影根据加速度投影即可方便确定加速度的大小和方向

[例1]如图，椭圆规的曲柄

OC

可绕定轴

O

转动，其端点

C

与规尺

AB

的中点铰接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，P

为规尺上的一点。已知

OC=AC=BC=l、PC=d

、=t（

为常数），试求点

P

的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。解：取图示直角坐标系，由几何关系得点

P

的运动方程为从运动方程中消去时间参数

t

，得点

P

的轨迹方程可见其轨迹为椭圆

点

P

的速度在

x、y

轴上的投影故得点

P

速度的大小方向余弦

点

P

的加速度在

x、y

轴上的投影故得点

P

加速度的大小方向余弦[例2]如图，套管

A

由绕过定滑轮

B

的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为

l

。当绳索以等速

v0

下拉时，若不计滑轮尺寸，试求套管

A

的速度和加速度（表示为

x

的函数）。解：将上式两边对时间

t求导，有解得套管的速度为套管

A沿导轨作直线运动，选取

x轴，并令AB=s，由几何关系得联立上述二式，并注意到，其中，负号表示套管A

的速度指向与

x

轴指向相反，即向上

其中，负号表示套管A

的加速度指向与x

轴指向相反，即向上将上式再对时间

t

求导，得套管

A

的加速度

[例3]如图，液压减震器的活塞在套筒内作直线往复运动，已知活塞的初速度为

v0，活塞的加速度

a=－

kv

，其中，比例系数k

为常数、v

为活塞速度。试求活塞的运动规律。

解：根据题意，由得对上式分离变量后积分得活塞速度x

轴方向作直线往复运动取图示坐标轴，活塞沿

再将代入上式，分离变量后积分解得活塞的运动方程为其中，x0为活塞的初始位置第三节自然法一、自然法中点的运动方程自然法中点的运动方程为利用动点的已知轨迹作为参考系2）由运动方程可确定点的位置、位移与路程说明：1）s

是弧坐标，为位置参数已知点的运动轨迹适用前提：来确定其位置二、点的速度引入自然坐标系：沿切向的单位矢量，指向弧坐标正向沿法向的单位矢量，指向曲率中心注意：自然坐标系是运动坐标系在自然法中，点的速度其中，为速度在切向轴上投影，若

v

0，速度指向弧坐标正向；若v

0，速度则指向弧坐标负向。三、点的加速度在自然法中，点的加速度其中，切向加速度（加速度在切向轴的投影）法向加速度（加速度在法向轴的投影）全加速度大小全加速度方位角说明：1）at＞0，切向加速度指向弧坐标正向，at＜0，则反之2）an恒大于零，法向加速度恒指向曲率中心讨论：1）若

at=

0

，则点作匀速运动2）若

an=

0

，则点作直线运动3）若

at=

0

且

an=

0

，则点作匀速直线运动4）若

at=

0

且

an=

Const

，则点作匀速圆周运动说明：1）切向加速度

at反映了速度大小相对于时间的变化率2）法向加速度

an反映了速度方向相对于时间的变化率3）v与

at同号，点作加速运动v与

at异号，点作减速运动四、匀变速曲线运动三公式匀变速：注意：1）适用前提，匀变速，即

at=Const2）各有关参量的正负号[例4]

如图，动点

M

的轨迹由半径

R1=

18m、

R2=

24m

的AO、BO

两段圆弧组成，取两段圆弧的连接点

O

为原点并规定弧坐标的正向，动点

M

的运动方程为

s

=

－t

2＋4t

＋

3（

s

以

m

计、t

以

s计），试求：1）当

t

=

5

s

时动点

M

的速度和加速度；2）由

t

=

0

s

至

t

=

5

s

动点

M

所经过的路程。

解：1）求速度和加速度动点

M的速度故当

t

=

5

s

时动点

M

的速度为动点

M的切向加速度动点

M

位于圆弧

AO

段，故得当

t

=

5

s

时，弧坐标

s

=

-

2

m，法向加速度为所以，当

t

=

5

s

时，动点

M

的加速度2）求路程注意到，当

t

＜

2

s

时，v

＞0，动点

M

向所以，由

t

=

0

s

至

t

=

5

s，动点

M所经过的路程为弧坐标正向运动；当

t

=

2

s

时，v

=0；当t

＞2

s

时，v

＜0，动点

M

向弧坐标负向运动。◆点的弧坐标与点的路程是两个完全不同的概念。前者是个瞬时参量，是个代数量（可正可负），确定的是点在某一瞬时的位置；后者是个过程参量，是个标量（恒为正值），确定的是点在一段时间内所经过的路程。两者不能混淆。[例5]图示曲柄摇杆机构，已知曲柄

AO

长为

r

，以等角速度

绕轴

O

转动；摇杆

BO1长为

l

，距离

OO1=r

。初始时曲柄

AO

与点

O1

成一直线，试求摇杆

BO1的端点

B

的运动方程、速度和加速度。解：1）建立运动方程轨迹已知，采用自然法建立自然坐标系，点

B

的运动方程为2）求速度和加速度点

B

的速度方向垂直于

BO1，指向与摇杆

BO1的转向一致点

B

的切向加速度、法向加速度分别为故点

B

的全加速度方向沿

BO1指向

O1[例6]已知点的运动方程x=50t

、y=500－5t

2（t

以

s

计，x、y

以

m

计），试求t=0

时点的轨迹的曲率半径。解：点的速度点的加速度点的切向加速度点的法向加速度得点的轨迹的曲率半径当t=0

时，[例7]列车沿半径

R=

400

m

的圆弧轨道作匀加速运动，设初速度

v0=

10

m/s

，经过

t=40

s

后，其速度达到

v=20

m/s，试求列车在

t=0、t=40

s

时的加速度。解：可直接利用匀变速曲线运动公式计算切向加速度当t=0

时，法向加速度故得当t=0

时的加速度当t=40

s

时，法向加速度故得当t=40

s

时的加速度[例8]如图，半径为

r

的圆轮沿水平直线轨道无滑动地滚动（简称纯滚动）。设圆轮在铅垂面内运动，且轮心

C

的速度

v

为常量，试求轮缘上的点

M

与地面接触时的速度和