差分运算与差分表

差分DifferencestyleUintageUintage11UintageColleater1差分运算Uintage2差分表411Passone1101PASS01差分的作用ThebestqualityforyouⅠ客观世界许多变量本身就是离散的(如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收盘价的按日记录等),它们表现出的函数关系也是离散的;Ⅱ现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示(如河流水位的高低作为时间的函数等),人们只能测得其一系列值而得到一个数列;Ⅲ有些函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂(如捕食与被捕食种群数的变化、接触性传染病的传播等).在不妨碍研究结果有效性的前提下,为了方便,人们也愿意把对连续函数的研究转化为对数列的研究.而计算机技术的发展,更为数列的研究提供了方便,使数列模型的应用也日趋广泛.1101BriefintroductionPASS01

差分的定义1101BriefintroductionPASS01

记M={f|f:N0C

}。定义M上的移位算子E为：

Ef(n)=f(n+1).同样定义Ek

f(n)

=E(Ek－1f(n)

)=f(n+k)。记I=E0

f(n)

=f(n)为恒等算子。

则有=E-I，E=I+。

差分的定义1101定理4.4

设f∈M，则有公式1101BriefintroductionPASS01

对实数域R上的任一函数f(x),定义f(x)的差分算子为：f(x)=f(x+1)-f(x).

f

称为f的一阶差分。

对k>1，定义k

f=(k－1

f)为f的k阶差分。定理4.5设

f(x)是一个n次多项式，则n

f是常数，且n+1

f=0.1101BriefintroductionPASS01

定理4.6设mk,则11Passtwo1101BriefintroductionPASS01设f(x)是实数域R上的任一函数，下面的数值表称为

f(x)的差分表

f(0)f(1)f(2)

f(3)……

f(0)

f(1)

f(2)

f(3)……

2

f(0)2

f(1)2

f(2)2

f(3)………………kf(0)kf(1)kf(2)kf(3)………………..差分表1101BriefintroductionPASS01

定理4.8设p(x)是一个n次多项式，则证

由定理4.5,x(x–1)…(x–m+1)/m!的差分表的左边沿值为0,0,…,0,1,0,…,m个0的差分表的左边沿值是p(0),

p(0),…,np(0),0,…p(x)的差分表有相同的左边沿值p(0),p(0),…,np(0),0,…1101BriefintroductionPASS01

定理4.9设p(x)是一个n次多项式，则

证由定理4.8,因为1101BriefintroductionPASS01

例2h2(n)表示一平面被n条位于一般位置的直线（每两条直线交于一点，没有三条交于一点）所划分的区域数；h3(n)表示三维空间被n个位于一般位置的平面(每两个平面交于一条直线，没有三个平面交于一条直线，每三个平面交于一点，但没有四个平面交于一点)所划分的区域数。

试求h2(n)，h3(n).1101BriefintroductionPASS01

解用h1(n)表示一条直线被n个不重合的点所划分的线段数。有h1(0)=1,h1(1)=2,h1(2)=3,…,h1(n)=n+1.

考虑一平面被n-1条位于一般位置的直线划分成h2(n-1)个区域.在平面内插入第n条直线使其位于一般位置。

h2(n)=h2(n-1)+h1(n-1)或h2(n)–h2(n-1)=h1(n-1)=h2(n-1)这个式子表明h2(n)的差分表可从h1(n)的差分表得到.方法是在h1(n)的差分表的上面排出新的一行

h2(0),h2(1),h2(2),…1101BriefintroductionPASS01

现在考虑三维空间被n个位于一般位置的平面划分成h3(n-1)个区域，在这个空间中插入第n个平面使其位于一般位置。先前的n-1个平面与第n个平面交于n-1条直线.这n-1条直线在第n个平面上位于一般位置，它们把第n个平面分割成h2(n-1)平面区域。而每一个这样平面区域把该平面所路过的空间区域分成两个空间区域。于是

h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1)或h3(n)–h3(n-1)=h2(n-1)=h3(n-1)1101BriefintroductionPASS01

h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1)或h3(n)–h3(n-1)=h2(n-1)=h3(n-1).这个式子表明h3(n)的差分表可从h2(n)的差分表得到.方法是在h2(n)的差分表的上面排出新的一行

h3(0),h3(1),h3(2),…

用h1(n)的差分表可得到h2(n),h3(n)的差分表h3(0)h3(1)h3(2)h3(3)…

h2(0)h2(1)h2(2)h2(3)…

1234……1111……0000……