插板法原理及应用

插板法理论分析:假定M个元素，分成N组。M个元素中间有(M—1)个空，如果想分为N组得话需要插入(N-1)个木板，所以方法数为:C(M-1,N-1);注意插板法得三要件:①相同元素分配;②所分组就是不相同得;③每组至少分到一个。插板法得三种基本形式：将8个完全相同得球放到3个不同得盒子中，要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法？TOC\o"1-5"\h\zAo21B、28C、32 D.48楚香凝解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C(7 2)=21种，选A•△• △•△ •△•△ •△•△•对于不满足第三个条件-一一即“每组至少一个''得情况,要先转化为标准形式，再使用插板法。将8个完全相同得球放到3个不同得盒子中，要求每个盒子至少放两个球,一共有多少种方法？A.3 B、6C.12 D、21楚香凝解析:先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个;转化为5个相同得球分到3个不同得盒子,每个盒子至少一^，插板法C(42)=6种，选B将8个完全相同得球放到3个不同得盒子中,一共有多少种方法？A°15 B.28 C.36 D.45楚香凝解析:此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分得时候再还回去;转化为11个相同得球分到3个不同得盒子，每个盒子至少一个，插板法C(102)=45种，选D此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同得空有C(92)=36种、插同一个空有C(91)=9种，36+9=45种；对比三种不同得考法，其实它们之间就是存在密切联系得。8个完全相同得球放到3个不同得盒子中，每个盒子至少放0个球，有C(102)种；8个完全相同得球放到3个不同得盒子中，每个盒子至少放一个球，有C(7 2)种；8个完全相同得球放到3个不同得盒子中，每个盒子至少放两个球，有C(42)种；这三种基本形式,要牢牢掌握、例1:某单位订阅了30份相同得学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问共有多少种不同得发放方法？ 【国家2010】AO12B。10 C.9Do7楚香凝解析:每个部分先提前分8份材料，还剩下30-3x8=6份;相当于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份,插板法C(52)=10种，选B例2:某办公室接到15份公文得处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理得公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有( )种分配方式。【广州2014】A.15 B、18Co21 D.28楚香凝解析:每人先分2份、还剩下15-3x2=9份;相当于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份,插板法C(82)=28种，选D例3:某单位共有10个进修得名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？ 【黑龙江2015】A、7 B、8 C、9 D、10楚香凝解析:C(10-1,n—1)=36,代入n=8满足，选B补充:若问最少有多少个科室，因为C(92)=36,此时为3个科室。例4:把10个相同得球放入编号为1,2,3得三个盒子中，使得每个盒子中得球数不小于它得编号，则不同得方法有()种。Ao10Bo15Co20 D、25楚香凝解析:第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球,还剩下10-1-2=7个球;相当于把7个相同得球放入三个不同得盒子，每个盒子至少一个球,插板法C(62)=15种，选B例5:把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况？A.15 B.28 C、36 D°66楚香凝解析:第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球,还剩下10—2+1=9个球;相当于把9个相同得球放入三个不同得盒子每个盒子至少一个球,插板法C(82)=28种,选D例6:现有9块巧克力(其中5块有夹心)，若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力得情况有多少种？ 【粉笔模考】A.6 B、9C.12 D°25楚香凝解析:相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块,插板法C(42)=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A对于插板法得基础题型来说，最关键得一步就就是把题中得条件转化成插板法得标准形式，即“每组至少一个"。★插板法技巧进阶篇在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意得情况，需要减掉、例6:某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用、已知每个部门都需要新电脑，且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有( )种。 【广东2013】A、9BO12C.18 Do27楚香凝解析:插板法C(92)=36种;然后去掉不满足题意得情况(即有得部门多于5台):选一个部门C(3 1)、先分给这个部门5台再把剩下得5台分给3个部门，插板法C(42),则不满足题意得情况有C(31)xC(42)=18种，满足题意得情况有36-18=18种，选C例7:有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同得订法？ 【黑龙江2010】A.4 B.5 C.6D、7楚香凝解析:解法一:分类:99+100+101得情况有A(33)=6种,100+100+100得情况有一种，共7种,选D解法二:每个单位先提前分98份,还剩下300—3x98=6份;相当于把6份日报分给3个单位,每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份得情况,C(52)-C(31)=7种，选D有时直接正面使用插板法，因为需要减掉得情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”得思想。例3:四个小朋友分17个相同得玩具，每人至多分5个,至少分1个,那么有多少种分法？【河南招警2011】A.18 B.19 C.20 D.21楚香凝解析:每个小朋友先分5个、共分了20个,再收回20—17二3个,每人至少交回0个,插板法C(63)=20种，选C例4:某快问快答节目第一关设置4道题,选手答错任意一题则立即停止答题、比赛规定:第一题到第四题得答题时间分别限定在10、8、6、3秒内(选手每题得答题时间都计为整秒且至少为1秒),某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上得答题用时组合有多少种： 【粉笔模考】A、8 Bo15 Co19 D.20楚香凝解析:总得时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒;转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个,再去掉三个名额都分给第四题得情况，插板法,C(63)-1=19种，选C如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。练习1：有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多102份。问一共有多少种不同得订法？A、6 B°7Co8 D°10楚香凝解析:每个单位先提前分98份,还剩下300-3x98=6份;相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份,插板法C(52)=10种，选D练习2：某办公室接到15份公文得处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理、假如每名工作人员处理得公文份数不得少于2份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.52 B、53C、54D。55楚香凝解析:每人先分1份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份,插板法C(11 2)二55种，去掉有人分到多于9份得情况(即10+1+1)、有C(31)二3种,则满足题意得情况有55-3=52种，选A练习3:某办公室接到18份公文得处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理得公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A°43 B、46 C、51 D°55楚香凝解析:每人先分2份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份,插板法C(112)=55种，去掉有人分到多于8份得情况:先选一个人分给她8份，剩下得4份分给3个人，每人至少1个，有C(31)xC(32)=9种,则满足题意得情况有55-9=46种，选B练习4:某办公室接到16份公文得处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理得公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分配方式：A.20 B、27 C、31 D、35楚香凝解析:每人先分5份、共分了20份,再收回4份,每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C(73)=35种,去掉有人交出4份得情况C(41)=4种,则满足题意得情况有35一4=31种，选C练习5:袋中有红、白、黑三种颜色得球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色得球都有，有多少种不同得抽法？A、35B、45 C.75D。105楚香凝解析:相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C(152)=105种;去掉某种颜色多于10个球得情况,先选一种颜色C(31)、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C(52)=10,则满足题意得情况有105-3x10=75种,选C★插板法技巧之比赛得分计算某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛得抢答环节，抢答环节共5道题、计分方式如下:每个家庭有10分为基础分;若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分;抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得( )种不同得分数。【广东2013】A.18 B、21 C、25 D.36楚香凝解析:有没有基础分并不影响得分得情况数;相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题,插板法0(72)二21种，选B通过分类可以瞧得更加清楚，答对一道与答错一道相差5+2=7分；抢到0道时,得分只有一种，即基础分10分；抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；抢到2道时，得分有三种，分别就是6、13、20;抢到3道时，得分有四种，分别就是4、11、18、25;抢到4道时，得分有五种，分别就是2、9、16、23、30;抢到5道时，得分有六种，分别就是0、7、14、21、28、35;共1+2+3+4+5+6=21种选B某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法就是答对一道得4分，答错一道扣1分,不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能得成绩，则N应等于多少？ 【深圳2008】A°45B。47C、49 D、51楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法0(122)=66种，但就是注意此时有些情况得得分就是重复得，出现重复得原因就是4x1+(—1)x4=0,即答对一道+答错四道二不答五道二0分。如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分得情况有两种，所以在对剩余得五道题进行插板分配时0(72)=21,这21种情况出现得得分跟前五道题得0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意得情况数有66-21=45种，选A也可以结合一个具体得得分进行说明，比如8这个得分,8=4x2=4x3+(-1)x4,有两种可能:(1)答对两道、不答八道(2)答对三道、答错四道、不答三道两种可能性进行对比,消掉相同部分(答对两道、不答三道)后,(1)不答五道,(2)答对一道、答错四道。这其实就就是出现重复得根源,或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后剩〕下得部分都就是不答五道二答对一道+答错四道,即如果先拿出五道题，对剩下五道题进行插板，这C(72)=21种情况都会出现重复、需要减掉。某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分,答错扣1分,不答得0分,且分数可以为负数、如所有参加测验得人得分都不相同,问最多有多少名测验对象？【浙江B2018】A°38Bo39 0。40 D、41楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法0(122)=66种，但就是注意此时有些情况得得分就是重复得,出现重复得原因就是3x1+(-1)x3=0,即答对一道+答错三道二不答四道二0分。如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分得情况有两种，所以在对剩余得六道题进行插板分配时0(82)=28,这28种情况出现得得分跟前四道题得0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意得情况数有66-28=38种，选A也可以结合一个具体得得分进行说明，比如15这个得分,15=3x5=3x6+(—1)x3,有两种可能:(1)答对五道、不答五道,(2)答对六道、答错三道、不答一道;两种可能性进行对比，消掉相同部分(答对五道、不答一道)后,(1)不答四道,(2)答对一道、答错三道。这其实就就是出现重复得根源,或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后乘〕下得部分都就是不答四道二答对一道+答错三道,即如果先拿出四道题，对剩下六道题进行插板，这0(82)=28种情况都会出现重复、需要减掉、对于加分与减分不互质得情况,需要进行一步转化。某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法就是答对一道得4分，答错一道扣2分,不答得0分、设这次竞赛最多有N种可能得成绩，则N应等于多少？A、21 B、30 0.38 D、51楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C(12 2)=66种，但就是注意此时有些情况得得分就是重复得,出现重复得原因就是4X1+(-2片2=0,即答对一道+答错两道二不答三道二0分。如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分得情况有两种，所以在对剩余得七道题进行插板分配时C(92)=36,这36种情况出现得得分跟前三道题得0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次所以满足题意得情况数有66—36=30种，选B某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法就是回答完全正确得5分,不完全正确得3分，完全错误得0分、设这次竞赛最多有N种可能得成绩，则N应等于多少？A°30 B.38 C、45 Do60楚香凝解析:先做一步转化，使之转化为标准型、鸡兔同笼思想:假设初始为30分,相当于10道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加2分、每错一道减少3分，那么就变成了回答完全正确得2分,不完全正确得0分，完全错误得一3分。插板法C(122)=66种，去掉重复得部分:先拿出3+2=5道题剩下得五道题插板C(72)=21种,66-21=45种，选C在一次数学考试中，有10道选择题,评分办法就是:答对一题得4分,答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试得学生中,至少有4人得分相同。那么，参加考试得学生至少有多少人？Ao91 B°103 C.136 D、199楚香凝解析:先求得分情况有多少种;插板法,C(122)-C(72)=45种，抽屉原理之最不利原则,每种得分先分3个人,再分一个人必然满足题意,45x3+1=136人，选D学生参加数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分,不答给0分,答错一题倒扣l分，若有1978人参加竞赛，至少有多少人得分相同？A.26 B、27 C、49 D.50楚香凝解析:先求得分情况有多少种;插板法,C(222)—C(182)=78种,抽屉原理之平均分配问题,1978^78=25-28,所以每种得分先分25人剩下得28个人也尽可能平均分配,则至少有25+1=26个人得分相同，选A小梁买了一个会走路得机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm.5cm这三种步伐、小梁可以通过遥控器控制机器猫得每一种步伐。若在小梁得控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达()种不同得距离、Ao8 B、9 C.10 D.11楚香凝解析:解法一:最少走4cm、最多走20cm,所以4~20之间得偶数都可以到达，选B解法二:转化为4道题，每道题完全答对加5分、部分答对加3分、答错加1分,鸡兔同笼转化为完全答对加2分、部分答对加0分、答错加-2分,插板法C(62)—C(42)=9种，选B⑼有1元、10元、100元得纸币共60张,每种至少一张，总钱数有多少种可能？A°583 B.592C。604 D°617楚香凝解析:转化为完全正确得100分,不完全正确得10分，完全错误得1分;利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分,不完全正确得0分,完全错误倒扣9分;插板法C(592)=1711种;去掉重复得情况:1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确，先拿出11道题，剩下得插板C(482)=1128种；1711-1128=583种，选A★插板法技巧之常见应用模型⑴方程a+b+c=10有多少组正整数解？A.15B。20C。28 D°36楚香凝解析:相当于把10个相同得苹果分给三个人，每人至少一个,插板法C(92)=36种，选D⑵不等式a+b+K10有多少组非负整数解？A、66Bo78Co84DO286楚香凝解析:补一个字母d,转化为a+b+c+d=10,此时a、b、c、d都就是三0得,相当于把10个相同得苹果分给四个人，每人至少0个,插板法C(133)二286种，选D(A+B+C)10得展开式中共有多少项？A.36 B、45 C.66 D.91楚香凝解析:对于(A+B+C)10得展开式中得任何一项AxxByxCz,都有x+y+z=10,其中x、y、z都就是三0得;相当于把10个相同得苹果分给三个人，每人至少0个,插板法C(122)=66种选C有10颗糖，如果每天至少吃一颗(至多不限)，吃完为止，问有多少种不同得吃法？A.144 B.217 C.512 D.640楚香凝解析:解法一:若1天吃完，只有1种;若2天吃完，插板法有C(91)种;若3天吃完，插板法有C(92)种…共C(90)+C(91)+C(92)+-+C(99)=29=512种选C解法二：10颗糖之间有9个空，每个空都可以选择就是否插板对应得吃糖数就不同共29=512种选C有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好就是它前面两个数字之与，直至不能再写为止，如257、303369、1347等等,这类数共有多少个？Ao36B。45 C.55 D.66楚香凝解析:前两位固定，则第三位及之后得数都固定,首位+第二位芸9,补成a+b+c=9,其中b、c都可为0,插板法C(102)二45个选B有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好就是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等,这类数共有多少个？A、45 B、50 Co54 D.55楚香凝解析:从最后两位考虑,若个位与十位固定则往前依次固定，个位+十位芸9,补成a+b+c=9,其中a、b、c单独都可为0,插板法C(112)=55,去掉a、b同时为0得情况，满足题意得情况有55-1=54种，选C补充:这类自然数中最大得为4位同学分五个苹果、1个梨,每位同学至少分到一个水果，有多少种不同得分法？A。16种B。24种C。40种D.48种楚香凝解析:先分梨有C(41)=4种,假设分给了甲;接下来把五个苹果分给甲乙丙丁,其中甲可以分0个,插板法C(53)=10种共4x10=40种，选C5个相同得苹果与3个相同得梨分给4个小朋友，每人至少分1个水果，有多少种分配方式？A°210Bs420 C.630 D、840楚香凝解析:解法一:先分梨，分类；3个梨分给同一个人，C(41)=4种，假设都分给了甲;接下来5个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C(53)=10种共4x10=40种；3个梨分给了两个人，C(42)x2=12种，假设分给甲2个、乙1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1个苹果，插板法C(63)=20种，共12x20=240种；3个梨分给了两个人，C(43)=4种，假设分给甲乙丙各1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,丁至少分1个苹果，插板法C(73)=35种,共4x35=140种；共40+240+140=420种，选B解法二:直接容斥，苹果与梨分别插板一至少1人没分到+至少2人没分到一至少3人没分到二C(83)xC(63)—C(41)xC(72)xC(52)+C(42)xC(61)xC(41)-C(43)=420种，选B有一个两位数A,将其个位数字与十位数字互换得到与之不同得两位数B,再将A与B相加,结果仍为一个两位数。问这样得两位数A有多少个？ 【粉笔模考】A。9B。32 C、36 D°64楚香凝解析:ab+ba=11(a+b)，则2<a+b〈10,补上百位、用百位去凑满10;相当于把10个名额分给百十个位，每位至少分1个名额，插板法C(92)=36种去掉a=b得四种(11、22、33、44)，满足题意得有36-4=32个，选B(10)小明将一颗质地均匀得正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数之与大于5得概率就是多少？ 【粉笔事业模考】A、1/6 Bo5/18C、5/6D、13/18楚香凝解析:总情况数有6x6=36种;不满足题意得情况数，两次点数与<6,相当于6个名额分给三个人,每个人至少分1个,插板法C(52)=10种，概率二(36—10)/36=13/18,选D★插板法技巧应用之取球问题(1)箱子里有大小相同得3种颜色玻璃珠各若干颗,每次从中摸出3颗为一组,问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠得颜色组合就是一样得？ 【联考2014】A、11 B.15Co18D、21楚香凝解析:相当于三个名额分给3种颜色，每种颜色至少分0个,插板法C(52)=10种,抽屉原理,10+1=11种，选A刚学插板法时应用起来不熟练,为了更加便于记忆，特做如下总结：三种颜色得球各一颗，取三颗，有C(3,3)=1种取法。三种颜色得球足够多，取三颗，【取三补二】，有C(3+2,3)=C(53)=10种取法。n种颜色得球足够多，取m颗，【取m补m—1】，有C(n+m—1,m)种取法、⑵从5个相同得苹果、6个相同得橘子、7个相同得香蕉中取4个水果，有多少种取法？A°15 B、20 C、35D°3060楚香凝解析:相当于四个名额分给3种水果，每种水果至少分0个,插板法C(62)=15种，选A一个袋里有四种不同颜色得小球若干个,每次摸出两个，要保证有10次所摸得结果就是一样得,至少要摸多少次？A.55BO87 C.41 D、91楚香凝解析:解法一:相当于两个名额分给4种颜色，每种颜色至少分0个,插板法C(53)=10种，抽屉原理,每种情况分9次,此时刚好不满足题意，再分一次必然满足,10x9+1=91次，选D解法二:四种颜色得球足够多、取两个，取2补1,C(4+1,2)=10种，抽屉原理，每种情况分9次,此时刚好不满足题意，再分一次必然满足,10x9+1=91次，选D有四种颜色得文件夹若干，每人可任取1~2个文件夹,如果要保证有3人取到完全一样得文件夹，则至少应该有( )人去取。 【天津2017】A、18Bo20 C.21 D.29楚香凝解析:解法一:四种颜色得文件夹足够多，取1个有C(41)=4种、取两个有C(4+1,2)=10种，所以共4+14=14种情况，每种情况先分2个人,此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足14x2+1=29次，选D解法二:补上第五种颜色,不论前四种颜色总共取了几个，用第五种去凑满2个(注意取得2个不能都就是第五种颜色);相当于五种颜色得文件夹足够多取2个有C(5+1,2)-1=14种情况,每种情况先分2个人,此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足,14x2+1=29次，选D某公司年终晚会有一节目:A、B、C三种盒子各有若干,盒子装有各种小奖品。每人最多拿3个,也可以不拿。321名员工全部选择后，主持人将所拿盒子数量与种类完全相同得员工分为一组。则人数最多得一组至少有多少名员工： 【粉笔模考】A、16Bo17 C、29 D.28楚香凝解析:补上D种盒子，不论前三种盒子总共取了几个，用D种盒子去凑满3个;相当于四种盒子足够多，从中取三个，有C(4+2,3)=20种;抽屉原理,321^20=16-1,人数最多得组至少有16+1=17名员工，选B袋中有红、白、黑三种颜色得球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色得球都有,有多少种不同得抽法？A、35 B°45 C、75 DO105楚香凝解析：16个名额分到红白黑三个箱子，每个箱子至少一个、至多10个,插板法C(152)二105种;去掉有箱子多于10个得情况：先选一个箱子C(31)=3,提前分10个给这个箱子,剩下六个名额分三个箱子，每个箱子至少一个，插板法C(52)=10种;满足题意得方法有105-3x10=75种，选D★插板法技巧应用之数码与篇⑴在1~999这999个数中，数码与就是9得数有多少个？(比如36,数码与3+6=9)A.36 B、45Co55 D、66楚香凝解析: