微积分期中考试试卷参

20082009（考试时间120班 姓 学—二三四五六七88一、选择题（每题4分，共20分以下条件中（ ）不是函数fx在x0处连续的充分条件

xx0

fx

xx0

f

limfxfx00(C)f'0

存

fxx0可以下条件中（ ）是函数fx在x0处有导数的必要且充分条件fx

在x0处连

fx

x0处可微(C)

fx0xfx0存

limfxx1fx

x1

的 )间断点(A)可 (B)跳 设函数fx在闭区间a,b上连续并在开区间a,b内可导.如果在a,b内f'x0,那么必有( 在a,b

fx

在a,b

fx单调增在a,b

fx单调减 (D)在a,b

fx是凸设函数fxx23x2sinx,则f'x0在0,内根的个数为( (A)0 (B)至多1 二、求下列极限(5，20lnb1

a（1）x00

0b1时，原式=limaxx00 1

limaxbsinxcxdcos

x00cabsin解:原式=lim a.xcdcos x limex1x a

ax

xa1 limsinx x0 lim

lnsinxlnxlimlnsinxln limxcosxsin= =ex002x2sinlimxcosxsin limxsin =

2

=ex006

=e6三、计算(624分ylntanxcosxlntanx,y 2 sec2 解:y' 2sinxlntanxcosxsec2tan2=sinxlntanx

tanFx是可导的单调函数,满足F'x0F00,方程FxyFxFy确yyx,

:令x0,则F0F0Fy0,所以Fy00.由Fx严格单调和F00y00原等式两边同时对x求导得F'xyyxy'F'xF'yy'x0,F'0y0F'0F'y0y0dx

=y'01t1t

d2yyx是参数方程yarctan

确定的函数,dx2解:

1t

1 1tddy d1 d1d2

dx t t

1 11t

1t

t2 t2 设函数f

xx

a0问a取何值时f0存在解:fx0处连续.f01

f'0lna11lna,得aee1e

（8分）证明:x0时有exxe,xe时成立等式证明:fxxelnx,f'x1e,x0e时,fx严格下降x

xe,时,fx严格上升.fe0.x0时

xelnx,xe时成立等式.x0时有exxe,xe时成立等式五、(8分)假定足球门宽度为4米,一球员在球门右侧沿垂直于的方向带球向上距离球门右门柱6米的点处跑去.问:他在距离多远处获得最大的射门(即他与两门柱解:arctan10arctan6 d

x2

, 1

1

36x2100x2x

时最大六、(10设函数fx在区间a,b上连续,在区间ab内有二阶导数.如果fafb且存ca,b使得fcfa,证明在ab内至少有一使得f0.证明:由中值定理,

fcfaf'ca

fbfcf'

bc所以12f0f.再由中值定理,ffff012 七、(10分)设f(x)在[a)上二阶可导，且f(a)

f(a)

xa时f(x)0,证明在(af(x)0证明 由于当xa时，f(x)0,因此f'(x)单调减，从而f'(x)f'(a)0，于f(xf(a)0f(x最多只有一个实根．下面证明f(x)0xa时，f(x)f(a)f'()(xa)