了解计算数学

了解计算数学作为计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。侯一钊（加州理工）研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流.edu/~hou/鄂维南（Princeton大学）北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟.cn/staff/weinane.htm包刚（Michigan州立大学）吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等.edu/~bao/金石（Wisconsin大学）清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、动力学理论等.edu/~jin/汤涛（香港浸会大学）中科院，研究方向：移动网格法等.edu.hk/~ttang/舒其望（Brown大学）中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法.edu/people/shu/home.html陈汉夫（香港中文大学）研究方向：数值线性代数.edu.hk/~rchan/许进超（Pennsylvania州立大学）北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法.edu/xu/袁亚湘中科院，研究方向为非线性最优化.cn/~yyx/张平文（北京大学）北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与模拟、移动网格法等./pzhang/index.html陈志明（中科院）研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法.cn/~zmchen/index-c.html其他还有黄维章、吴宗敏、XuKun、程今等人也非常突出。作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许是颇有裨益的。理论：最好的基本是MathematicsofComputationNumerischeMathematikSIAMJournalonNumericalAnalysisSIAMJournalonMatrixAnalysis&ApplicationsSIAMJournalonScientificComputing较好的有：BITIMAJournalofNumericalAnalysisAdvancesinComputationalMathematicsInverseProblems还有应用性质的杂志：JournalofComputationalPhysicsInternationalJournalforNumericalMethodsinEngineeringComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineeringInternationalJournalforNumericalMethodsinFluidsComputersandFluidsComputationalMechanics还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：JournalofComputationalChemistry，ComputationalMaterialSciences也可以浏览。但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大学出版社出版的ActaNumerica连续出版物。ActaNumerica每年出版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的StanleyOsher写的LevelSetMethodinImageScience。其他论题有：entropystability(TadmorE)，radialbasisfunction(BuhmannMD等等。该出版物可以从网上可以找到不少。另外一本就是SIAMReviewoSIAMReview的每一期里面都有几篇文章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或者是介绍每一个领域的最新进展等。SIAMNews的每一期也有关于计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以称得上是汗牛充栋。微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分法、有限元法、边界元法和谱方法。有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。Richtmeyer&Morton^^DifferenceMethodsforInitial-ValueProblems》则是差分法方面的经典著作。R.LeVeque最近也有一本《FiniteDifferenceMethodforDifferentialEquations》也很有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的主页(.edu/~rjl/)上下载，他的另外一本书《NumericalMethodsforConservationLaws》是守恒律数值方法方面非常出色的著作。有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《TheFiniteElementMethodforEllipticProblems》，这也是系里专业科的教材。另外卜Brenner&Scott^^MathematicalTheoryoftheFiniteElementMethod》据说也是不错的。谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《SpectralMethodsandTheirApplications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页Cedu/~shen/)上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的入门书为Trefethen的《SpectralMethodsinMatlab》，其他的还有Canuto等人的《SpectralMethodsinFluidDynamics》。除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社，2003,50¥)。计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《FunctionalAnalysis))(有中译本：吉田耕作，《泛函分析》)或者Rudin的《FunctionalAnalysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。最后补充一句，订阅mailinglist也是不错的，可以迅速获得关于计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下面的网址注册.edu.hk/cam-net/indexcn.html英文的推荐订阅CleverMoler的NADigest，可在下面的网址注册-net接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。Kahan,JamesDemmel,PeterStewart,LNTrefethen,Higham这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面的大家。矩阵计算方面最经典的书应该是JHWilkinson的《TheAlgebraicEigenvalueProblem》（有中译本，石钟慈等人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是很有启发的。现在的经典是Golub和vanLoan的《MatrixComputation》（有中译本，袁亚湘译，《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上找到的。其他的书有Demmel的^AppliedNumericalLinearAlgebra》，Trefethen&Bau0^^NumericalLinearAlgebra》据说也是很好的。YousefSaad有两本书《Iterativemethodsforsparsesystems》和《Numericalmethodsforlargeeigenvalueproblem5》，写的挺有意思的，在他的主页（，还得提至UHouseholder的一本老书，《Thetheoryofmatricesinnumericalanalysis》（有中译本，系里中英文版的都有）。LNTrefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，前面已经到过他的几本书了，《SpectralMethodinMatlab》，《NumericalLinearAlgebra》，还有GiniteDifferenceandSpectralmethods》（在他的主页上可以down，.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文献，也许对大家有点启发。Cooley&Tukey（1965）theFastFourierTransformCourant,Friedrichs&Lewy（1928）finitedifferencemethodsforPDE3.Householder（1958）QRfactorizationofmatricesCurtiss&Hirschfelder（1952）stiffnessofODEs;BDformulasdeBoor(1972)calculationswithB-splinesCourant(1943)finiteelementmethodsforPDEGolub&Kahan(1965)thesingularvaluedecompositionBrandt(1977)multigridalgorithmsHestenes&Stiefel(1952)theconjugategradientiterationFletcher&Powell(1963)optimizationviaquasi-NewtonupdatesWanner,Hairer&Norsett(1978)orderstarsandapplicationstoODE12.Karmarkar(1984)interiorpt.methodsforlinearprog.13.Greengard&Rokhlin(1987)multipolemethodsforparticles他的remark也很有意思，Wewerestruckbyhowyoungmanyoftheauthorswerewhentheywrotethesepapers(averageage:34),andbyhowshortaninfluentialpapercanbe(Householder:3.3pages,Cooley&Tukey:4.4).这说明大家都还是很有希望的，呵呵。反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下几本杂志：InverseProblems，JournalofInverseandIll-posedProblems,InverseProblemsinSciencesandEngineering(以前叫InverseProblemsinEngineering).第一本杂志最好，第二本杂志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAMJournalonNumericalAnalysis，SIAMJournalonMathematicalAnalysis,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications，SIAMJournalonScientificComputing上也有不少反问题方面的文章。在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好的结果(很年轻！)，哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HWEngl(澳大利亚)，Yamamoto(日本)，Kress(德国)，MartinHanke(德国)，Isakov(美国)等。反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域，如EIT。水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学的FadilSantosa最早将水平集方法应用于求解反问题，但是没有很大的反响。Engl的学生MartinBurger在2000年将水平集方法应用于反问题(发表在InverseProblems上)，在国际上有很大的反响。MartinBurger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一个综述和展望，值得参考。反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《SolutionsofIll-posedProblems》(有中译本，《不适定问题的解法》)。现在反问题反面每篇重要的文章基本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘记的。个人感觉Groetsch的《ThetheoryofTikhonovregularizationforFredholmequationofthefirstkin》是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的《LinearIntegralEquations》和Kirsch的《AnIntroductiontotheMathematicalTheoryofInverseProblems》也是不错的入门书。Engl等人的《RegularizationofInverseProblems》广受好评，应该可以作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的《Inverseproblemsforpartialdiffere