《高等数学AI》期末复习题参考答案

《高等数学AI》末复习题参考答案题：1.2.；3.；4.B；5.D；题：1、[，4]；2、1；3、x=；、y=+；、x

52

；6、单调增加；7、(1，6；8、39、y=；、

lna

；11、

；12；133。21、解：原=

lim

x

2、解：原=

lim(1

limx0

xx

lim(1

1x)x

。

e1、解：′=

(1)(

2、解：′

cosx1sinx

。(2)dx。dy=(2)3、解：方两边对求导：32x。y=2

2

y3′-x

5

01、解

xx1dxdx=)=arctanx2x第1共页

10102、解：

dx=x2

x)=arctan(sin)

。3、解：原=x–x+

10

。4、解：原=|dx|00

。5、解：令t=

，则x=t，x=2tdt，原式=

2t

tsin

sintdt)cost1

)2(sin1

。六解：函数的定义域为：(-∞，-3∪(-3，+∞)。y

x23)36(3，(x4x令y0，得x=3列表如下：x

(-∞-3(-3，3)

3

(3+∞y

-

0

-y

单调减少

单调增加

极大值4

单调减少所以，函数的单调减少区间为：(-∞，3(3，+)；单调增加区间为：(-3，；函数的极大值为：(3。(2)y′′

x

)(

36

2(6)4令y′′=0，得x=。列表如下：xy′

(-∞-3(-，6)--

60

(6+∞)y

凸

凸

拐点11/

凹所以，函数的凸区间为：(-∞-3(，凹区间为：(-33)；函数的拐点为：(611/3。(3)

limy[1xx

36(x

]

，所以函数的铅直渐近线为：=-。第2共页

230dx230dxlimlim[1xx

(x3)

]

，所以函数的水平渐近线为：=。七

证：令F)=e

3x

f(x)，由已知，F(x)[a，b]连续，在(，)可导，且F()=0=(b，由罗尔定理，在(ab)内至少存在一点，使得：Fξ)=3e3f(ξ)+3f′ξ)=0，即：f′(ξ)+3(ξ)。八

解：

y

，所求平面图形的面积为：A

10

(x

2

1)d)|。331、解：分离变量，得：

d1

dx1

，两边积分，得：arcsiny，即原方程的通解为：=(x+)此外还有解：=±12、解：P(x

2x

，()x

，原方程的通解为：=e

(2ex

2

(d2(

(

。将y

x

代入通解，得=。∴所求符合初始条件的特解为：=2(x22

。《高等数学AI》末复习题参考答案题：1、C；2、A；3、；4、C；5B；题：1、[，3]；2、；3、=；、y=3–2；5、；6单调减少；7、(-1，4；ln3第3共页

8、69、y=–1；10、arcx+；11

；12π；133。1、解：原=

lim

xx

2、解：原=

lim(1)

limx01。6

1x23x2

3。1、解：′=dy=

(x2(x2dx。(2

2、解：′

x

cotx。3、解：方两边对求导：eyy′+0，y=

e

。1、解：原=

2sinxx

x

(cossin)dxsinxx。2、解：原=

d(2)

。3、解：式=arctan

x1d(12)1xarctanxxln(12)。22124、解：原=x2–x)|=3–e。05、解：令t=

，则x=t

2

，dx=2tdt，原式=

2

tet

tt1

tdt)et)20

。第4共页

11六11

解：(1)函数的定义域为：(-∞，+∞。y3

2

1–2x–，令y′=0，得x=，x=。3列表如下：xy

(-∞-1/3-1/30

(-1/31)-

(1+∞y

单调增加

极大值32/27

单调减少

极小值0

单调增加所以函数的单调增加区间为：(-∞，1/3)，(1∞)；单调减少区间为：(-1/，1)；函数的极大值为：(1/)=32/27，极小值为：(1。(2)y′′=6–2令′=0，得=1/3。列表如下：xy′

(-∞/)1/3-0

(1/3，∞)y

凸

拐点16/27

凹七

所以函数的凸区间为：(-∞1/3)；凹区间为：(1/，+∞)；函数的拐点为：(1/，16/)。证：令F)=xf()，由已知，Fx)在[，b]连续，在(，)可导，且F()=0=(b，由罗尔定理，在(ab)内至少存在一点，使得：Fξ)=2ξ(ξ)ξ

2

f′(ξ)=0，即：2f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

解：所求平面图形的面积为：A=x00

xd|101、解：分离变量，得：x，y两边积分，得2y2，即原方程的通解为：y

(x22

.外还有解：y=0。第5共页

x。n1n11n1n2、解：P(x，(x)x，x。n1n11n1n原方程的通解为：=e

xedx

xdx

。将y

x

代入通解，得=1。∴所求符合初始条件的特解为：=

x

。《高等数学》期末复题三参考案题：1、A；2、

C

；3、

；4

B

；5、D；

6、B。题：1、

；2、

11；3、x；4、；5x

11x

。限：1、解li

1x

im

xx(1

im

11。11limim0

12112、解limx

1x。x0xsinx3.解n

n

n

1n

n

limn

nn

e2。e数：1、解：

2x

2

exx

。sinx2、解lnysinxx，coslnx，

sinxcosxlnx。第6共页

3、解：两对求导，得：xy

y整理得：yy

2

xyy

所y

y。xy分：1、解：原=

lnx(lnx)

ln2。2、解：原=

2xsin2xsinx

x

(cossin)dcosxC。3、解：原=

(1x

111x22)|2)。22224、解：令tant

，dx

2

tdt，，

π

；

，t

π原式=

π3π4

sectan2t

π3π4

t2t

π3π4

t)1|tt

π3π4

2

。

解：(1)f′(x)=

(3

，令f′(x)=，得：x1列表如下：x

(–∞，)(–1，1)1(1，∞)f′()f()

–↘

↗

0极大值

54

–↘∴f()的单调减少区间为(–∞1)和(1∞)单调增加区间为(–1)，极大值为：f1

14

。(2)′′()=

2((x

，令f′′()，得：x2，列表如下：x

(–∞，)(–1，2)

2

(2，+)f′′()–

–

0

f()

凸

凸

拐点

29

凹∴f()的凸区间为：(∞，–1和(–1，2，凹区间为：(2，∞)，拐点为：(2)。第7共页

x5x5(3)limxlimx

x(1x(1)

22

，y是数的水平渐近。∴x数铅渐线

证：令f()x–(1+)，则f()在区间[0，+∞)上连续，且

1(x)0(0故f(x)在[0∞)上严格单调增加，11

从而f()(0)=0，因此，当x>0时，有>ln(1+)。2解或，所求平面图形的面积为：A=

4

y2y(y4)4y)26

4

。1、解：当≠时，y()dyydu原方程化为：，，则yx，dxdxdxx原方程化为：x

dudu

x，分离变量，得(1)x

，两边积分，得：u–lnln|+lnC，即：=x，也就e

C|y，或=e

yx

；经检验，y0也是原方程的解，原方程的通解为：=2、解：原程的通解为：

yx

和y=0y=

dx5dx3[(xxx=((2xC](1)[(xC](

72

。第8共页

1x11x1xy3《高等数学》期末复题四参考案1x11x1xy3题：1、B；2、C；3、4、B；5、B；6、；、A；8、A。1、必要；、；可去；3、a=；=-；4、2+1=05；6、

(x。1、解：原=limx1

1213

(x1)(xxlimlimx)(12)x12

2、解：原=limx

x

x

limx

1

xx

；3

、

解：原式=limx

2

(12

2

lim(12)x1、解d2x2)xtan)(1x2dx2、解：

y(sin3)tx(acos3t

32tta2t(

(

t

，n整数)3、解：方两边同时对x求导，得

y

（*以y

ey；ey（*两边同时对x求导，得e

y

y

y

y

y

y

2

xe

y

y

，y

e

y

yxe

.

yyxe)

。1、解：原=x2x；x2、解：原=

cos(d(2sin(x；第9共页

00xx33、解：原=lnxxdxlnx34、解：令=t，则x=costt=0t=0，x=，t

2

。原式=

tcos

t=

20

sin

2

t

20

14dt=(4)4。5、解：原=sin-0

20

sinxdxπ/+cosx|

0

π2

-1解：令'

x

240点2不可导x，''，∴单调增区间(x4(2，单调减区间为02小值为f(2)凹区间为(，无拐点。题：1、证：设f(ln(1x，然(x)在区间x]满足拉格朗日定理，则)0。1当

>0时，，

x，即：1

x1x

x)x

。

、证：设f()x

5

–7x–，则f(x)在[1，]上连续，且f(1-10<0，(2)14>0，由零点定理，在(，)至少存在一点ξ使得fξ)=，即方程x(1，2)内至少一个实根。

5

–7x=4在

解：所求体积为：V=

R

2dx

R

22)dx

R0

1(R22)dx23第1页共页

eexxeexx

43

。1、解：原方程化为：

x

2xy，分离变量：

dy

d，两边积分：lny|=lnC，原方程的通解为：=

e

。2、解：原程的通解为：y=

()。《高等数学》期末复题五参考案1、(-2，2)∪(2+

2、1；

3、0；

4、=2；

5、1；

16。21、解：原=

；

six12、解：原=lim；x3、解：原=li

lnx(lnx

x4、解：lilnlim=lim1x000x

xx2li

xlnx

lim1xx2

li()=，x0

12

；

原式

0

1。1、=

xx

，求

2、==(x+求d第1页共页

22解：y

x(x1)；(x1)(2

解：

1，2x1

2x

x。3、求由方–y确定的隐函数的导数y

；解：方程两边对求导：–y

+xy

，y

xy

y

；4、=

2

cosx，求y

。解：y2–2inx，x2xsin–xinx–xx=(2–x2)4xsin。1、解：原=

14

x4xx+；12、解：原=cosx3)d(2x21(x3)+；23、解：令t=

x，则x=

2

–1，d=2tt0，t=，x=，t2原式=

21

tdt=2(2)dt122116(t5t)；54、解：原=xsinx|

π/0

π20

si