平面向量线性运算的应用

平面向量线性运算的应用重点学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题;体会向量是一种处理几何问题的有力工具。体会用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的重要工具。难点将实际问题转化为向量问题考试要求考试>题型选择题、填空题>难度中等、较难且典例精析典例--：向量的线性运算在平面几何中的应用例题1已知：任意四边形ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点。求证：EF=1（AB+DC）。证明：因为EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF，所以2EF=EA+ED+AB+DC+BF+CF。因为E,F分别为AD,BC的中点，所以AE=ED,BF=FC,所以EA+ED=0,BF+CF=0,所以2EF=aB+DC,EF=1(aB+dC)。2所以命题成立。C2"1'1E FB总结提升：用向量方法解决几何问题的步骤：平面几何问题设向量＞向量问题字一解决向量问题—原T解决几何问题典例二：向量的线性运算在物理中的应用例题2 （1）在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小。30()N（2）帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h。若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向。解（1）如图，两根绳子的拉力之和OA+OB=OC，且|OC|=|OG|=300N，ZAOC=30°，ZBOC=60°o在△OAC中，匕ACO=ZBOC=60°，ZAOC=30°，则ZOAC=90°，

I—从而|OA|=|OC|・cos30°=150r3(N),|AC|=|OC|・sin30°=150(N),所以|OB|=|AC|=150(N)。答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150方N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N。(2)建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°,速度为.|=20(km/h),水流的方向为正东，速度为|v2|=20(km/h),设帆船行驶的速度为V,则v=V]+v2。由题意，可得向量V1=(20cos60°,20sin60°)=(10,10t'3)，向量V2=(20,0),则帆船的行驶速度为v=v1+v2=(10,10V3)+(20,0)=(30,10v'3),所以|v|=v'302+(10*'3)2=20^3(km/h)。因为tanq= ；=^-(a为V和羽2的夹角，且为锐角)，所以a=30°,所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20*3km/h。总结提升：利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算。第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算。留归纳总结平面向量线性运算在平面几何中的应用(1)常见问题及处理技巧问题类型线平行、点共线等问题所用知识共线向量定理公式表示a//b问题类型线平行、点共线等问题所用知识共线向量定理公式表示a//b=a=Xb=xy-xy=0其中a=(x,y),b=(x,y),b。0(2)用向量方法处理平面几何问题的“三步曲”

建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。把运算结果“翻连”成几何关系。注意：向量是数学中证明几何命题的有效工具之一。在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论。一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题。向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题。用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：（1） 问题转化，即把物理问题转化为数学问题；（2） 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；（3） 求解参数，即求出数学模型的有关解一一理论参数值；（4） 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题。Qi同步练夺（答题时间：30分钟）用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为N。一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为min。一质点受到平面上的三个力F1，F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F「F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）B.2NA.B.2N人骑自行车的速度是吧，风速为V"则逆风行驶的速度为（A.v1—v2 B.V]+v2C.VJ—|v2| D.|匕|TOC\o"1-5"\h\z1 2 v2已知三个力F1=(—2,—1),F2=(—3,2),F3=(4,—3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力气，则F4等于( )A.(—1,—2) B.(1,—2)C.(—1，2) D.(1，2)已知两个力F1，F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为( )A.5履N B.5NC.10N D.5巨N已知作用在点A的三个力f1=(3,4),儿=(2,—5),£=(3,1),且A(1,1),则合力f=f+f2+f3的终点坐标为( )A. (9,1) B. (1,9)C. (9,0) D. (0,9)河水的流速为5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A.13m/s B.12m/sC.17m/s D.15m/s,已与一G,已与一G都成60。=(1,2)o故选D。设合力/的终点为日参考答案答案：10解析：设重力为G,每根绳的拉力分别为F],F2,则由题意得角，且|FJ=|F2|o.・.|匠]|=|旦=1。=102..・每根绳子的拉力都为10No答案：3解析：Vv=v+v=v}~\-v,实际船水1 21*1=20km/h,"1=12km/h,|p|=^'1V|2—|%|2=<202—122=16(km/h)o,、 0.8•,•所需时间t=——=0.05(h)=3(min)o16・••该船到达B处所需的时间为3min。答案：C答案：B答案：D解析：•.•物体平衡，.•/]+五2+五3+尸4=°，:.F=-F-F2-F3=-(-2,-1)-(-3,2)-(4,-3)答案：B解析：如图，有|F]|=|F|cos60°1=10x-=5(N)2答案：A解析：/=/；+方+Z=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,P(x,_y),则。尸=OA4/=(1,1)+(8,0)