平面向量系列

一、基本公式平面向量系列l=J

I三m基本公式应用0A=(x,y)-(0,0)=3,y)AB=0B-0A=(x,y)-(x,y)=(x-x,y-y)BBAABABAf—a-b=(x-x,y-y)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2a+b=(x+x,y+y)12 12ff人(a土b)=Xa土Xb=(人x±Xx,Xy±Xy)―►T —«—»a±bna-b=xx+yy=012 12平面向量基本公式＜—9-—F―PT —F—平面向量基本公式＜a-b=1aIIbIcos<a,b>-7a-bxx+yy<a,b>= = —12 -IaIIbI 、；x2+y2..(x2+y2—Ir —ba//bnxy-xy=012 21i i. i ia//bna=Xb.、i''I a I= Jx2 +y2I a I=寸a2二、解题思路与方法/平方法求向量模长/坐标法和矢量运算求垂直和平行问题/根据两向量数量积符号确定夹角符号三、例题精析向量垂直坐标求法：1、 (2016全国卷1理)已知向量a=(1,m),b=(3,-2)，且(a+b)±b，则m=( )A、-8 B、-6 C、6 D、8［解析］:题目给出向量的坐标，所以可以直接用坐标运算去解题，如下：―卜— — —b——(a+b)1bn(a+b)-b=［(1,m)+(3,-2)］・(3,-2)=(4,m-2)(3,-2)=04x3+(m-2)x(-2)=0n12-2m+4=0nm=8故选D。—*■ f —►—fc-—fc-2、 (2014，重庆一模)若向量a=(-1,k),b=(3,1),且】+b与a垂直，则实数k的值是。［解析］:题目给出向量的坐标，所以可以直接用坐标运算去解题，如下：―卜— —F —S- —―卜(a+b)1an(a+b)•a=［(-1,k)+(3,1)］・(3,1)=(2,k+1)(3,1)=02x3+(k+1)x1=0n6+k+1=0nk=-7—F —F —F —F —F f3、(2014，重庆高考)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)1c,则实数k=［解析］:题目给出向量的坐标，所以可以直接用坐标运算去解题，如下：(a+b)1an(a+b)-a=［(-1,k)+(3,1)］・(3,1)=(2,k+1)(3,1)=02x3+(k+1)x1=0n6+k+1=0nk=-7向量垂直点乘求法: 一一丁一、。八 ・T-■丁・-斗一一 7、,一 4、(2012,山东模拟)已知向量a,b夹角为600，且Ia1=3,1b1=2,若(3a+mb)1a，则实数m的值是__。TOC\o"1-5"\h\z［解析］:题目没有给出向量的坐标，那就不能用坐标运算，直接用数量积点乘计算，如下：—r f —t —r —m—b- —t —r—» —r —r—*(3a+mb)1an(3a+mb)-a=3a2+mab=3IaI2+mIaIIbIcos600=0n3x32+mx3x2x1=0n27+3m=0nm=-92—一・ 一 5、(2013,资阳模拟)已知向量a,b的夹角为45。，IaI=IbI=2,且向量a与人b-a垂直，则实数人=［解析］:题目没有给出向量的坐标，那就不能用坐标运算，直接用数量积点乘计算，如下:—fr —* —► —► f—► —!?■ f —*a1(入b -a)n a-(入b-a)=入ab-a2 =XIaII bIcos450-Ia I2=0、克 、一 -nXx2x2x——22=0n2X12—4=0nm=%，226、（2014,惠州模拟）已知Ia1=4,1b1=8,a与b的夹角是1200,（a+2b）±（ka一b），则k的值是［解析］:题目没有给出向量的坐标，那就不能用坐标运算，直接用数量积点乘计算，如下：—*■ —*■ —* T —*■ —*■ —lr T —► —► —►—*■ —（a+2b）±（ka一b）n（a+2b）-（ka一b）=ka2一2b2+2kab一ab=0nkx42-2x82+2kx4x8xcos1200-4x8xcos1200=0nk=（3）与单位向量有关的向量垂直求法:7、（2014，衡阳校级月考）已知向量a,b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，贝gk=。［解析］:题目没有给出向量的坐标，那就不能用坐标运算，直接用数量积点乘计算，注意题目中的两个垂直的单位向量，单位向量的长度为1，又因为他们互相垂直，故数量积为零，如下：（a+b）±（ka一b）n（a+b）-（ka一b）=ka2一b2+kab一ab=0nkx12一12+kx1x1xcos900一1x1xcos900=0nk=18、（2014,葫芦岛期末）已知向量a,b是夹角为600的两个单位向量，向量a+人b,QeR）与向量a—2b垂直，则实数人=。［解析］:题目没有给出向量的坐标，那就不能用坐标运算，直接用数量积点乘计算，有两个单位向量，夹角为600，如下：（a+人b）±（a一2b）n（a+人b）-（a一2b）=a2一2人b2+人ab一2ab=0n12一2人x12+人x1x1xcos600一2x1x1xcos600=0nX=0（4）向量平行坐标求法：9、（2015，涪城校级模拟）已知a=（2,1）,b=（x,3）,且a//b,则x的值为［解析］:题目给出向量的坐标表示，故直接利用向量的坐标去运算，如下：a//bnxy—xy=0,n2x3一1xx=0nx=6TOC\o"1-5"\h\z12 2110、(2017，阳光校级月考改编)已知向量a=(1,2)，b=(—2，m),且a〃b，则2a+3b=［解析］:题目给出向量的坐标表示，故直接利用向量的坐标去运算，如下：—9a//bnxy—xy=0,n1xm—2x2=0nm=4,..12212a+3b=2(1,2)+3(—2,m)=(2,2)+(—6,3m)=(—4,2+3m)=(—4,14)11、 (2014,陕西高考)设0＜。＜:,向量a=(sin20,cos0),b=(cos。,1),若a平行方，则to9=［解析］:题目给出向量的坐标表示，故直接利用向量的坐标去运算，如下：a//bnxy—xy=0,nsin29—cos29=0,n2sin9cos9=cos2912 211ntan9=—212、 (2015,信宜~模)已知A(1,3),B(—2,—3),C(x，7)，若AB//BC，则x=。［解析］:题目给出点的坐标表示，先计算出向量的坐标，再利用向量平行坐标求法，如下：AB=(—2,—3)—(1,3)=(—3,—6),bC=(x,7)—(—2,—3)=(x+2,10),AB//BCn—3x10—(—6)(x+2)=0nx=3向量平行其他求法：13、(2016,长汀校级月考改编)已知点P(x,y),Q(3,4)，若pq//x轴，则y=。［解析］：题意是PQ向量与X轴平行，我们知道与X轴平行时y=y0，如下：PQ//x轴，ny=y=4,故y=4.pq14、(2016,铁岭校级月考改编)已知a,b不共线，c=ka+b,d=a—b，如果c〃d，那么k=［解析］:题目没有给出向量的坐标，所以不能用坐标运算，用矢量法运算，如下:--w fa h —ta* b ™b-c//dnc=Xdnka+b=人(a—b)nka+b=Xa一人b一S一Ika=Xank=—1lb=—Xb平方法求模长：15、(2017全国卷1理)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：1 —Ia+2bl=、.(a+2b)2=\：a2+2a-2b+(2b)2=、2+4-2-1・—+4-12=2、j：31 ■ V 216、(2014,长汀校级月考)平面向量云b的夹角为:，且满足1a|=2,|a一2b|=混，则1b1=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：Ia—2bl=%3na2—2•a•2b+4b2=3,n4—4•2・IbI+4Ib|2=3,nlbl=

—#■ —fc- —«!■—fc- —frf17、(2014,诸暨校级期中)已知向量Ia1=1b1=2,且a•b=2,则Ia+b1=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：TOC\o"1-5"\h\z一f一!f C一f:cr~■ ■~ J——Ia+bI=、：(a+b)2=\，a1+2a-b+b=122+2•+22=v1018、 (2015•长春二模)已知平面向量a,b满足IaI=、F3,IbI=2,a•b=-3，则Ia+2bI=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：一f_f一J1一一 JfC_f_i_1 /_f—- ' ' '' /—Ia+2bI=(a+2b)2=、•a°+2a•2b+(2b)2=•、：v32+4•(-3)+4•22=%：719、 (2015•陕西二模)设向量a,b满足Ia+bI=<20,a•b=4,则Ia一bI=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：Ia+bI=\：'(a+b)2= \a2+2a•b+b2 = \a2+b2+8 =(20na2+b2 =12l r7~ I—。lr-*■-> ^77 .^― _Ia一bI=\：(a-b)2= \.^2一2a•b+b =\a°+b一8 =v12一8=22兀■ : —・・L20、(2015•石家庄一模)已知平■面向量a,b的夹角为3,IaI=2,IbI=1,则Ia+bI=［解析］:由题知，求模长，没有给出坐标，直接平方法，先平方再开方，如下：Ia+bI=(a+b)2=\a+2a•b+b=\22+2•2•1•cos120o+12=2公式法求夹角:21、(2015长春三模)已知IaI=1,IbI=/2,且a±(a-b)，则向量。与向量丽勺夹角为J—ab_J—ab_ 1 _v2IaIIbI1x^2 2a•(a-b)=0nIaI2-ab=0nab=1,cos<a,b>=22、(2015太原一模)已知向量。,2,满足(2a-b)•(a+b)=6,且IaI=2,IbI=1,则a与b的夹角为［解析］:由题知，没有给出坐标，先求出数量积，先利用公式求夹角，如下:(2a-(2a-b)•(a+b)=6n2IaI2+ab-b2T— 一1.=6nab=-1,cos<a,b>=ab-1_1 — — IaIIbI1x2 2TOC\o"1-5"\h\z—b-—* —fr —*■—lr —fr —*■ ——I-23、(2017，荔城区校级期中)已知平面向量a,b满足a•(a+b)=3,且Ia1=2,1b1=1,则向量a与b的夹角是。［解析］:由题知，没有给出坐标，先求出数量积，先利用公式求夹角，如下：ab-1 1a-(a+b)=3nla|2+ab=3nab=-1,cos<a,b〉=——= =-—IaIIbI1x2 2 -八~学 - -rz l-—i 24、(2016，四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b,(meR),且Aa的夹角等于c^b的夹角，则m=。［解析］:由题知，给出坐标，先利用公式求夹角余弦值，再让两个余弦值相等，如下:—► —I-—F —F-—4-c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,4),cos<c,a>=cos<c,b〉—b―b- —r—rncacb旦m+12 4m+24旦。IcIIa