平面向量概述

平面向量概述一.本章内容本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。本章重点是：（1） 向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；（2） 向量的代数运算法则，向量的数量积；（3） 线段的定比分点公式和中点公式、平移公式；（4） 解斜三角形.本章难点是：（1） 熟练运用向量的概念、向量的几何表示和坐标表示；（2） 理解和运用向量的运算法则；（3） 已知两边和其中一边的对角解斜三角形.5.1向量教学目标理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；理解向量的几何表示，会用字母表示向量；了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；知识结构：重点是向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示.难点是向量概念的理解.教法建议：.采取实际问题的方式引入课题，通过具体实例使学生了解生活中除了表示大小的数量外，有时还要标出方向，从而引出向量的概念.在讲解实例时最好结合相应几何图象配合，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解向量概念的实质.让学生列举实际生活中向量还有哪些，如速度、力、加速度等.向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来，而成为平面内的一自由向量，因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性。引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系.由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义.对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向.讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系.对向量的位置不确定性的认识，即向量是自由向量，可以通过把向量放在简单几何图形中，体现共线与平行的关系，准确理解相等向量的含义，在图形中帮助学生体会向量的几何特征和数量特征的统一.相等向量的定义也可以通过师生共同讨论得到，如数量相等，是指大小相等的两个数量，那模相等的两个向量是否相等？单位向量是否相等？让学生思考总结得到定义.5.2向量的加法与减法教学目标掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量;•掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算， 将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；知识结构：重点是向量的加法和向量的减法的定义、运算、几何表示.难点是对向量加减法定义的理解及向量加法，减法运算时方向的确定.教法建议：向量的加法可以从实际问题引入，例如可以从物理上的位移入手，位移也是向量的一种，那么向量和的定义也是一致的.从而使学生有物理上的位移直观理解向量和的定义，然后再从数学的角度定义向量的三角形法则.给学生说明三角形法则对于一切向量都适合，但物理习惯用的平行四边形法则对于共线向量不适合，要让学生特别注意.向量的减法引入之前，要给学生讲清相反向量的意义和表示方法.掌握向量的加法和减法法则时，一方面要用形来帮助理解，另一方面还可以从特殊位置到一般位置去认识，如共线的，共起点的，共终点的等特殊关系的运算熟悉法则的使用.让学生结合图形，归纳总结向量和的性质，如向量的方向，模等与两向量间的关系.对于加法的结合律让学生通过图形自己检验，一方面可以熟悉向量的加法，还可以理解结合律.由于向量的加法满足结合律，和交换律，所以向量的加法中向量的个数可以推广到n个即n个向量 且按向量加法的三角形法则可以得到n个向量相加的法则是：以前一个向量的终点作为下一个向量的起点，相继作出向量 ’•，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作向量，这个向量就是所求的这 n个向量的和.5.3实数与向量的积教学目标掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律， 会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；了解平面向量基本定理，能作出由一组基底表示的向量， 能用给定图形上的一组基底表示指定的向量；知识结构：重点是实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件，平面向量基本定理难点是共线向量充要条件及平面向量基本定理的理解.教法建议：可以通过物理中力与加速度的关系f=na,位移与速度的关系s=vt等实际问题引入实数与向量的积.从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣.实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小.由于学生已理解共线向量，因此可以让学生观察共线向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑.然后指出向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别.平面向量本定理可以从物理上力的分解来引入， 学生对于力的分解比较熟悉，使学生首先对定理的应用有所了解.定理是向量坐标表示的基础，因此要学生理解基底的意义.由于不要求证明该定理，只要学生会用即可，所以教学中要侧重于它的应用，培养学生应用所学数学知识的能力.5.4平面向量的坐标运算教学目标1.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；2.掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；知识结构重点是理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件的坐标表示.难点是对平面向量坐标表示的理解.教法建议1.为了便于学生接受向量的坐标表示，正确理解这一概念，在教学过程中可采用类比的教学方法.一开始从平面上的点与坐标的关系入手，在复习平面向量基本定理之后，引出向量的坐标问题.在学习的过程中采用指导阅读、讲解相结合，以达到提高学生阅读理解能力.向量是数形结合的一个典范.学好向量坐标表示这一内容，能进一步促进学生对代数几何关系的理解，运用代数几何化，几何代数化的方法从多角度思维，对于培养学生正确的数学观有着重要的作用.在研究向量坐标运算及简单应用时，有意渗透数形结合思想.教学中应使学生明确任意向量都与唯一的实数对一一对应，这不仅使向量的坐标表示成为可能，也使表示向量的坐标与向量的起点和终点的具体位置没有关系.充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比，联想发现，解决问题.本节在引导学生理解向量坐标表示的意义后，可以放手让学生自己研究获得向量坐标运算的方法以及平行向量的坐标表示.5.在讲解向量平行的坐标表示时，首先要掌握好向量平行的充要条件从中得到相等的向量，再根据相等向量坐标相同得出关系式.为此可先通过复习让学生掌握好向量平行充要条件，相等向量坐标关系，为新知识的学习做好铺垫.5.5线段的定比分点教学目标•理解点P分有向线段所成的比入的含义，能确定入的正负号；2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；知识结构重点是线段的定比分点和中点坐标公式的应用.难点是利用线段定比分点坐标公式解题时确定 入的值.教法建议1.本节课通过共线向量引入来介绍，一点分一条有向线段所成比的概念，结合图形讲清入的符号情况，让学生理解符号正负的确定是由方向确定的，另外要注意比值的顺序始点、分点、终点，入值是求解线段定比分点坐标的关键.本节是运用已有知识推导出新的结论，因此可以以学生推导、分析、总结为主，培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力.对“数形结合”这一数学思想的渗透贯穿于本节课的始终，作为本节课的一条主线.3•通过具体例题及练习让学生掌握公式的应用，尤其是 入值的确定•让学生通过例题练习归纳总结规律.5.6平面向量的数量积及运算律教学目标正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题；掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；知识结构重点是平面向量的数量积概念及其性质、运算律，向量垂直的条件.难点是平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质及运算律，以及平面向量的数量积的应用・教学建议本节内容分为两课时，一是平面向量的数量积的概念及运算性质，二是平面向量的数量积的运用.因为学生在物理学科中已经学过矢量及矢量运算， 所以可从物理知识引入，由此也体现了数学知识与其他学科的联系，引起学生的兴趣，而且让学生了解所学内容在实际生活中的具体运用.在定义了向量的数量积的运算后，启发学生由实数的乘法的运算性质猜想向量乘法的运算性质，再引导学生自主探索研究其运算性质.引导学生观察平面向量的数量积公式的结构特征， 归纳其功能——知三求一，从而发现其应用类型，即求长度或角度，特殊情况下就是垂直关系的证明依据了 ^两向量的数量积是两向量间乘法的一种，是学生以前所未接触到的新的乘法，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新定义，学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些困难.它与实数的乘法的概念，性质及运算律有联系也有区别，这一区别是教学的重点也是学生学习研究的难点・平面向量的数量积是解决有关长度，角度等问题的重要工具，特别是证明垂直关系的重要依据，平面向量的数量积的作用是显而易见的，但对于学生来讲，接受新定义，理解新运算，认识新法则都需要一定的时间，应用这一知识也就有一定的困难.5.7平面向量数量积的坐标表示教学目标掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式.根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角.运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题， 特别是运用坐标法证明两个向量垂直.根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式.知识结构重点是平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件.难点是平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用教法建议平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法.本节课开始时应向学生指出： 对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度， 还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理.3•应将平面向量数量积的两种形式结合起来， 交待等式--14H其中八 •.这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系.平面向量数量积的两种形式表明了向量是数与形的结合体，它们互相渗透，彼此作用，也应是教学的一个重点；而学生对它们的联系是陌生的，所以在理解上有一定的难度另外，根据已知条件，选择恰当的形式(坐标法与向量法)解决问题是学生学习的又一难点.教学中注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系.5.8平移教学目标了解平移的概念及平移的几何意义；掌握平移的公式及其推导过程， 会用平移公式解决有关点的平移、 化简函数式及求平移向量等有关问题；知识结构重点是平移公式的推导过程及其应用.平难点本节难点是平移公式在函数图象平移中的应用教法建议1.在学生熟悉二次函数图像基础上，不妨径直提出问题：抛物线y=(x—2)2+3怎样运动后，它可有简单的表达式y=x2?经验表明，多数学生能有正确答案，从而较顺利引入本课的主题.类比力学中钢体平动引入几何图形上点的平移变换. 用位移向量导出平移公式.通过例题与练习的解答与分析讲解，使学生掌握平移变换问题求解的操作步骤，并逐步理解它的几何涵义.小结时强调平移变换特征，点明典型问题的基本形式，在最后的引申和思考中，对学有余力的学生适当拓宽点变换的形式.使他们在后续课程中对这一重要思想方法有更好的理解与掌握.在教学过程中结合图形讲解， 使学生理解平移图象的目的，关键是把平移看成两个点集之间的映射，要分清原象与象，对应法则，突数与形的转换.5.9正弦定理、余弦定理教学目标1.了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理和余弦并会利用计算器解2.掌握正弦定理和余弦并会利用计算器解定理，能运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，决解斜三角形中复杂的计算问题；3•会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解；知识结构运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具，比较系统地研究了斜三角形求解这个课题•知识结构可用框图表示如下：重点是正弦定理和余弦定理及其推导过程，正弦定理、余弦定理的运用.难点教学难点是运用正弦定理和余弦定理解斜三角形.教法建议1.复习提问勾股定理，解直角三角形基本情况，通过直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新课.•可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如要研究直角 A^B中的边角关系，若C为直角，则有一：二二‘，i二二1，这两个等式间存在关系吗？学生可ab以得到 ，进一步提问，等式能否与边c和 建立联系？从而得到正弦定理.利用向量法证明正弦定理时关键是引导学生如何通过向量的数量积把三角形的边长和三角函数联系起来，由于向量中与三角函数有联系是数量积， 而且是余弦，如何选择辅助向量来建立联系？教学中在关键处设问，引导学生主动探究，使学生对正弦定理的导出有透彻的理解.•正弦定理的其它证明方法可让学生课后探讨：传统的几何法，可以利用三角形面积£迪叮二一dri?sinC=-acsin3=-beAL-i-abcL-i从而得到正弦定理.2过点A作圆的直径还可以通过圆内接三角形证明5RAD连接CD,则b2R各式中分别除以2在从而得到正弦定理.2过点A作圆的直径还可以通过圆内接三角形证明5RAD连接CD,则b2R各式中分别除以2在顷sin£ADC利用向量也可采用如下方法：过，同理可得到其它边角关系，即可证得.勺顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，':的夹角为，由于-二、［一'在」1方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知

I 所以bc二一1一.■.'1./即一匚一三一二匚(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得.4•运用正弦定理解已知两角和任一边及已知两边和其中一边的对角这两个类型的问题，在教学中紧紧抓住这一点启发学生得出具有什么条件的三角形能够运用正弓3。定理，这样时学生能正确运用正弦定理解题. 其中例题讲A00解时，对于解的不同情况，用图形展示出来，以帮助学生理解. D(5)余弦定理的证明也可先有直角三角形特例引入， 让学生发现余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，使学生理解两者之间的内在联系，将新知识纳入已有的知识结构中去，为讲解余弦定理打下基础.让学生探讨余弦定理及其变形公式的应用条件，更好的理解定理及其应用.5.10解斜三角形应用举例教学目标.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法， 会利用解任意三角形的知识解决一些实际问题；.能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定和余弦定理；知识结构重点利用解斜三角形解决相关实际问题.解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.强化上述思维过程，既是本节的重点，又是本节难点.难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定理看成几个“方程“，那么解三角形的应用题实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的方程，从而是解题过程简洁.同时，由于具体问题中给出的数据通常是近似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求.教法建议1.复习提问正弦定理、余弦定理以及分别用它们解斜三角形的基本情况，而后指明，实际问题形式多样，简单结论不能概括，提出新的例题引入新课.2.在教学中，要引导学生重视分析题意，理解问题的实际背景， 如何将实际问题中的各种要素提出来，分清已知与所求，根据题意画出示意图，确定所需的数学知识，从而建立数学模型.根据数学模型启发学生正确运用正弦定理和余弦定理，在演算过程中，力求算法简练，算式工整，计算正确，并且自己作出示范，严格要求学生.讲解例题时不妨让学生讨论归纳出应用题一般思路， 数学模型的建立，从而能使学生更好的掌握.如果有条件，最好采用多媒体演示例题中模型，帮助学理解问题的背景，建立模型，同时要求学生要注意观察周围生活的事物.向量----思维的全新视角、教学的最佳契机向量是新教材增加的内容，无论是对于教师还是学生都是新的，作为学生，接触到新的内容，不仅增大了知识的容量，而且由于立足于向量这一新的视角，进一步拓宽了思维的渠道。作为教师不仅要学习新内容，而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质，修整原有的认知，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识。向量教学是发展创新意识与创新能力的极佳契机。在这一章的教学中，学生的反馈并不如教师心中之预料，一些教师认为这一章内容安排思路清晰并不难，只是概念多了一些。但学生却觉得这一章内容比较抽象，就拿向量的概念来说就觉得不太好把握，究其原因，是因为向量是既有大小又有方向的量，与以往所学的数量、长度大不相同，向量的形式运算是多次抽象的结果，如果学习的方法不当，就会产生枯燥无味的感觉。笔者以为，这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的。恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机。、突出概念、定理的抽象概括过程向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来，而成为平面内的一自由向量，虽然是抽象的形式符号，依然可以以位移为背景图象，理解上并不困难。因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性。在概念引入时，如果回避知识的产生过程，生搬概念从而迅速进入解题阶段，忽略对问题的感悟进而导致对问题的一知半解。例如在向量的加法教学中，如果一上来就按照课本给出加法的三角形法则，就会造成学生的生搬硬套。我的经验是直接提出问题：应该怎样定义两个向量的加法？你在物理中能找到那些依据？数学与物理的结合顿时使同学们产生一种新鲜感与一股探求的欲望，从而进入一种紧张的思维状态，在大脑中积极主动的搜寻能抽象出两个向量加法的实际背景。经过讨论很快就达成共识，有两种物理原型：位移的求和与力的求和。这样学生不仅能正确的表述出怎样求两向量的和，而且发现这两种方法的一致性。在这样一种学习的氛围中，教师所要做的并没有多少，语言也寥寥无几，教师看起来似乎漫不经心，很轻松，但就是在这样的情景下学生之间已形成了思维共振，在“随意”中实现了知识的有效迁移。我经常鼓励同学们，以你们现在的知识，完全可以发现以往科学家发现的内容，甚至能够你独到的发现，发现别人所没有发现的，从而极大的鼓舞了学生的士气，激发其探求的欲望。f-V j*例如在引入数量积伍-b=Fcos8的定义后，我并没有把教材中的五条性质逐一注述出来，虽然这样学生也能理解的很好，我总觉的新的内容新的方法如果你告诉他怎么做，尚不如告诉他为什么这样做，更不如引导他怎样去想。我适时地提出问题：从这个定义中能得到什么信息从而更好的理解这个公式呢？引导学生站在哲学的高度，运用联系的观点，一般与特殊的处理方法去探索发现，结果同学们不仅“发现”了书上的所有性质， 而且还得到了「一二「一等结论，加深了对抽象内容的理解。从而使学生不仅在探索中证明了诸多性质，更重要的是让学生感悟到了应该如何去发现。课后经常有同学拿着自己推导出的结论， 有些是自己的独到发现，有些是将要学习的新内容，对此我都大加赞赏，夸奖他的独立思考的精神，或赞叹他的数学上的天赋，或赠送其数学博士的称号。二、突出数形结合的思想在新教材中，向量的运算法则以及运算律的给出容易使学生产生向量是属于代数内容，但向量实际上又是属于几何的范畴的，虽然有时也会脱离图形而进行形式运算，但所研究的内容大都与图形有关，所以向量是数形结合的一个典范。学好向量这一章的内容，能进一步促进学生对代数几何关系的理解，运用代数几何化，几何代数化的方法从多角度思维，对于培养学生-豪I-X正确的数学观有着重要的作用。例如证明必±jUa+b=d，既可以从数量积的角度算出门二二・，进而得到」【：；亦可以从矩形的角度证明该命题。而证法二有利有学生的思维rf从直观形象向抽象过渡，更好的理解该命题。再如对任意向量 「二'都有IEIiI杉U+云彳1|甲,味三角形三边关系上更能看出问题的实质。因此教师在教学时应有意识的