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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,则下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.2.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A. B. C. D.3.函数的图象大致为A. B. C. D.4.已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.5.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.6.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下列说法中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在单调递增D.函数的图象向右平移后关于原点成中心对称7.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.8.已知向量,,则向量与的夹角为()A. B. C. D.9.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()A. B. C. D.10.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.11.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()A. B.C. D.12.已知,则()A.5 B. C.13 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.14.已知(为虚数单位),则复数________.15.已知函数在点处的切线经过原点,函数的最小值为,则________.16.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填>,<,=)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,分别是椭圆:的左,右焦点,点在椭圆上,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求,的值:(2)过点作不与轴重合的直线,设与圆相交于A,B两点,且与椭圆相交于C,D两点,当时,求△的面积.18.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求证:直线与椭圆相切;(2)判断是否为定值,并说明理由.20.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.21.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的值域.(2)设函数,若,且的最小值为,求实数的取值范围.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A:由于,即,,所以,所以,所以成立;选项B:由于,即,所以,所以,所以不成立;选项C:由于,所以,所以,所以成立;选项D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故选:B.【点睛】本题考查不等关系和不等式,属于基础题.2、B【解析】
利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得【详解】解:因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.3、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.4、D【解析】
如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.根据椭圆定义得,又,则,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故选D.5、D【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.6、B【解析】
根据函数的图象,求得函数,再根据正弦型函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】根据给定函数的图象,可得点的横坐标为,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,当时,,即函数的一个对称中心为,即函数的图象关于点成中心对称.故选B.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式,再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及运算与求解能力,属于基础题.7、B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.8、C【解析】
求出,进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解:由题意知,.则所以,则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式进行计算.9、B【解析】
利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.【详解】①因为,所以是的一个周期,①正确;②因为,,所以在上不单调递增,②错误;③因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域.当时,,在上单调递增,所以,的值域为,③错误;综上,正确的个数只有一个,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.10、D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.11、A【解析】
画图取的中点M,法一:四边形的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积;法二:根据,即可求半径从而求外接球表面积;法三:作出的外接圆直径,求出和,即可求半径从而求外接球表面积;【详解】如图,取的中点M,和的外接圆半径为,和的外心,到弦的距离(弦心距)为.法一:四边形的外接圆直径,,;法二:,,;法三:作出的外接圆直径,则,,,,,,,,,.故选:A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积,关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多,属于较易题目.12、C【解析】
先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.14、【解析】
解:故答案为:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,属于基础题.15、0【解析】
求出,求出切线点斜式方程,原点坐标代入,求出的值,求,求出单调区间,进而求出极小值最小值,即可求解.【详解】,,,切线的方程:,又过原点,所以,,,.当时,;当时,.故函数的最小值,所以.故答案为:0.【点睛】本题考查导数的应用,涉及到导数的几何意义、极值最值,属于中档题..16、>【解析】
根据方差计算公式,计算出的表达式,由此利用差比较法,比较出两者的大小关系.【详解】,故.,.要比较的大小,只需比较与,两者作差并化简得①,由于为互不相等的正实数,故,也即,也即.故答案为:【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算,考查差比较法比较大小,考查运算求解能力,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出,;(2)设直线方程为,联立直线与圆的方程可以求出,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.【详解】(1)焦点为F(1,0),则F1(1,0),F2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可设直线方程为,,联立得,易知△>0,则===因为,所以=1,解得联立,得,△=8>0设,则【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆,直线与椭圆的位置关系问题.意在考查学生的数学运算能力.18、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由(2)可知,获奖的概率为,的可能取值为0,1,2,,,,分布列如下:012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的阅读理解能力和计算能力,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2)是,理由见解析.【解析】
(1)根据判别式即可证明.(2)根据向量的数量积和韦达定理即可证明,需要分类讨论,【详解】解:(1)当时直线方程为或,直线与椭圆相切.当时,由得,由题知,,即,所以.故直线与椭圆相切.(2)设,,当时,,,,所以,即.当时,由得,则,,.因为.所以,即.故为定值.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查向量的运算,注意直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)由,利用余弦定理可得,结合可得结果;(2)由正弦定理,,利用三角形内角和定理可得,由三角形面积公式可得结果.【详解】(1)由题意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.21、(1);(
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