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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.2.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.3.在展开式中的常数项为A.1 B.2 C.3 D.74.已知,,则()A. B. C.3 D.45.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为()A. B. C. D.6.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.407.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.48.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.10.若复数满足,则()A. B. C. D.11.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则12.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是______.14.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和,则该圆锥的体积为________15.若x,y满足,且y≥−1,则3x+y的最大值_____16.的展开式中所有项的系数和为______,常数项为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,其中p为常数.(1)求p的值;(2)求证:数列{an}为等比数列;(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于两点.(1)求的长;(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.19.(12分)在,角、、所对的边分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,边上的中线,求的面积.20.(12分)若关于的方程的两根都大于2,求实数的取值范围.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.(1)证明:平面;(2)设是直线上的动点,当点到平面距离最大时,求面与面所成二面角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.2、D【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3、D【解析】
求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为:,,所以展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。4、A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.5、B【解析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.【详解】解:根据题意可得,各个数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示;十位,千位,十万位用横式表示,用算筹表示应为:纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的.故选:.【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理,属于基础题.6、B【解析】
,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.7、C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.8、A【解析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.9、D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.10、B【解析】
由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.11、D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.12、D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据流程图,运行程序即得.【详解】第一次运行,;第二次运行,;第三次运行,;第四次运行;所以输出的S的值是.故答案为:【点睛】本题考查算法流程图,是基础题.14、【解析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式,求出底面半径和母线长,再根据勾股定理求出圆锥的高,最后利用圆锥的体积公式求出体积。【详解】设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,所以有解得,故该圆锥的体积为。【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。15、5.【解析】
由约束条件作出可行域,令z=3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为:5【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.16、3-260【解析】
(1)令求得所有项的系数和;(2)先求出展开式中的常数项与含的系数,再求展开式中的常数项.【详解】将代入,得所有项的系数和为3.因为的展开式中含的项为,的展开式中含常数项,所以的展开式中的常数项为.故答案为:3;-260【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)p=2;(2)见解析(3)见解析【解析】
(1)取n=1时,由得p=0或2,计算排除p=0的情况得到答案.(2),则,相减得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化简得到,得到证明.(3)分别证明充分性和必要性,假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,计算化简得2x﹣2y﹣2=1,设k=x﹣(y﹣2),计算得到k=1,得到答案.【详解】(1)n=1时,由得p=0或2,若p=0时,,当n=2时,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合题意,故p=2;(2)当p=2时,①,则②,②﹣①并化简得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,则3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因为,所以数列{an}是等比数列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次为,,,满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;必要性:假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,又,所以,化简得2x﹣2y﹣2=1,显然x>y﹣2,设k=x﹣(y﹣2),因为x、y均为整数,所以当k≥2时,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故当k=1,且当x=1,且y﹣2=0时上式成立,即证.【点睛】本题考查了根据数列求参数,证明等比数列,充要条件,意在考查学生的综合应用能力.18、(1);(2).【解析】
(1)将直线的参数方程化为直角坐标方程,由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离,结合垂径定理即可求得的长;(2)将的极坐标化为直角坐标,将直线方程与圆的方程联立,求得直线与圆的两个交点坐标,由中点坐标公式求得的坐标,再根据两点间距离公式即可求得.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),化为直角坐标方程为,即直线与曲线交于两点.则圆心坐标为,半径为1,则由点到直线距离公式可知,所以.(2)点的极坐标为,化为直角坐标可得,直线的方程与曲线的方程联立,化简可得,解得,所以两点坐标为,所以,由两点间距离公式可得.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化,极坐标与直角坐标的转化,点到直线距离公式应用,两点间距离公式的应用,直线与圆交点坐标求法,属于基础题.19、(1)(2)答案不唯一,见解析【解析】
(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得,再根据同角三角函数基本关系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解:(1)在中,因为,又已知,所以,因为,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,当时,的面积,当时,的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面积公式和分类讨论思想,属于中档题.20、【解析】
先令,根据题中条件得到,求解,即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2,令所以有,解得,所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题,熟记二次函数的特征即可,属于常考题型.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.22、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点,连接,根据菱形的性质,结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;(2)根据面面垂直的判定定理和性质定理,可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离,结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大,最大值为1.以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式,结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】(
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