zw-模块复习课函数的应用

XXX大学XXX老师人教版·高中数学章末提升智维私教985/211重点高校大学生实时一对一第四课函数的应用【网络体系】【核心速填】1.函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔y=f(x)有零点.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点(1)当Δ=b2-4ac>0时,有两个零点,即.(2)当Δ=b2-4ac=0时,有一个零点,即.(3)当Δ=b2-4ac<0时,_______.无零点3.f(a)·f(b)<0与函数y=f(x)在区间(a,b)内零点个数的关系(1)函数y=f(x)在区间[a,b]内若不连续,则f(a)·f(b)<0与函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点的个数没有关系(即:零点存在性定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y=f(x)若满足_____________,则在区间(a,b)内至少有一个零点;反过来函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点不一定有f(a)·f(b)<0,若y=f(x)为单调函数,则一定有_____________.f(a)·f(b)<0f(a)·f(b)<04.幂函数、指数函数、对数函数的增长差异(1)幂函数y=xa(a>0)在区间(0,+∞)上的增长_________.(2)指数函数y=ax(a>1)在区间(0,+∞)上_________呈“爆炸式”快速增长.(3)对数函数y=logax(a>1)在区间(0,+∞)上增长先快后慢,逐步趋于_____.相对平稳先慢后快平稳【易错提醒】1.函数零点的三个关注点(1)函数的零点是一个实数,不是一个点.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,反映在图象上就是函数图象与x轴有无交点.(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.2.定义域在函数中的“优先”地位(1)在研究函数时,首先要考虑定义域,在实际应用问题中,除了从式子本身考虑外,还要注意自变量的实际意义.(2)在解决二次函数在某一区间上的最值时,要注意二次函数顶点的横坐标是否在给定的区间内.类型一函数的零点问题【典例1】(1)(塘沽高一检测)设方程|x2-3|=a的解的个数为m,则m不可能等于(

)A.1

B.2

C.3

D.4(2)记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.①当a=1,b=-2时,求f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不动点”;②已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“不动点”,求证:f(x)必有奇数个“不动点”.【解析】(1)选A.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=|x2-3|和y=a的图象,如图所示:由图象知,方程解的个数为0,2,3或4,不可能有1个解.(2)①当a=1,b=-2时,由f(x)=x得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不动点”为-1和3.②函数f(x)的“不动点”即方程f(x)=x,亦即f(x)-x=0的根,因为f(x)为奇函数,所以f(x)-x为奇函数,设方程f(x)-x=0在(0,+∞)上有k(k∈N)个实数根,则它在(-∞,0)上也有k个实数根,又因为f(x)-x为奇函数,所以f(0)-0=0,即0是f(x)-x=0的根,所以方程f(x)-x=0共有2k+1(k∈N)个实数根,所以函数f(x)有2k+1(k∈N)个“不动点”.即f(x)必有奇数个“不动点”.【延伸探究】在本题(2)的条件下,若函数f(x)=x2-x+a+1有且只有两个相异的“不动点”,求实数a的取值范围.【解析】由题意得方程x2-x+a+1=x有两个不等实根,此方程可化为x2-2x+a+1=0,由Δ=(-2)2-4(a+1)>0,解得a<0.【方法技巧】确定函数零点个数的方法(1)解方程f(x)=0有几个根.(2)利用图象找y=f(x)的图象与x轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数.(3)利用f(a)·f(b)与0的关系进行判断.【变式训练】已知关于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常数a,b同号,b,c异号,则下列结论中正确的是(

)A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根【解析】选D.令t=2x,则原方程可化为at2+bt+c=0,Δ=b2-4ac,又因为a,b同号,b,c异号,所以a与c异号,Δ>0,设方程at2+bt+c=0的两个根为t1,t2,则t1+t2=<0,t1t2=所以方程at2+bt+c=0有一正一负两个根,因为2x>0,所以2x取值唯一,故原方程只有一个实根.【补偿训练】若方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一解,求实数a的取值范围.【解析】由题意可知,a≠0.若方程在区间(0,1)内有两个相等的实根,则此时无解.若方程有两个不等实根,其中只有一个在区间(0,1)内,则令f(x)=2ax2-x-1,此时有f(0)f(1)=(0-0-1)(2a-1-1)<0,解得a>1,即实数a的取值范围为(1,+∞).类型二二分法的应用【典例2】用二分法求方程的近似解(精确度0.01).【解析】设f(x)=当x＜0时,f(x)＞0，没有零点.当x＞0时，设0＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=因为0＜x1＜x2,所以所以f(x1)-f(x2)＜0.所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增.因为f(1)=所以当x∈(1,+∞)时，f(x)＞0,所以f(x)在(1,+∞)上没有零点，f(x)在(0,1)上时，f(0.1)≈-2.102＜0,f(0.5)≈2.1618＞0,所以f(x)在(0.1,0.5)上有且只有一个零点，下面用二分法逐次计算：(0.1,0.5)→(0.1,0.3)→(0.2,0.3)→(0.2,0.25)→(0.2,0.225)→(0.2125,0.225)→(0.2125,0.21875).因为|0.21875-0.2125|=0.00625＜0.01，所以可取0.21875作为函数零点的近似值.因此原方程的近似解为0.21875.【方法技巧】用二分法求方程近似解注意的问题(1)看清题目的精确度,它决定着二分法的结束.(2)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间,高次方程要先确定有几个解再确定初始区间.(3)初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是相同的,但二分的次数相差较大.(4)取区间中点c计算中点函数值f(c),确定新的零点区间,直到所取区间(an,bn)中,an与bn达到精确度要求.【变式训练】(南京高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为

.【解析】设f(x)=x3-2x-1,其零点为x0,则f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,计算f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.625<0,因为f(1.5)·f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).答案:(1.5,2)(说明:写成闭区间也算对)【补偿训练】函数与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是()A.1.7125B.1.8025C.1.8125D.1.8775【解析】选C.设f(x)=经计算所以方程在(1，2)内有解，设为x=x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈-0.1775,因为f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).取区间(1.5,2)的中点x2=1.75,用计算器算得f(1.75)≈-0.0543,因为f(1.75)f(2)<0,所以x0∈(1.75,2).取区间(1.75,2)的中点x3=1.875,用计算器算得f(1.875)≈0.0004,因为f(1.75)f(1.875)<0,所以x0∈(1.75,1.875).取区间(1.75,1.875)的中点x4=1.8125,用计算器算得f(1.8125)≈-0.0264,因为f(1.8125)f(1.875)<0,所以x0∈(1.8125,1.875).由于|1.875-1.8125|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=的零点即与y=lgx图象交点的横坐标的近似值可取1.8125.类型三函数建模思想【典例3】(1)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不给予优惠;②如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其500元内的按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款是(

)A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元(2)(太原高一检测)某集团公司计划分三期建立垃圾资源化处理工厂,如表:第1期:2010年初投入1亿元兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万吨年综合收益2千万元第2期:2012年初投入4亿元兴建垃圾焚烧发电一厂年发电量1.3亿千瓦时年综合收益4千万元第3期:2014年初投入2亿元兴建垃圾焚烧发电二厂年发电量1.3亿千瓦时年综合收益4千万元如果每期的投入在当年即可见效,且不考虑存贷款利息,设2010年为第一年,第x年的总收益为f(x)(单位:千万元),试求f(x)的表达式,并预测到哪一年能收回全部投资款.【解析】(1)选C.由题意知，付款额y与购物总额x的关系为由于168＜180，故168元没有优惠，实付购物额为168元.当x=500时，y=0.9×500=450(元).因为423<450,所以购物总额在(200，500］内，由0.9x=423,解得x=470,两次购物总额为168+470=638(元).当x=638时，y=0.9×500+0.7×(638-500)=546.6(元).(2)由题意得显然当x≤4时，不能收回全部投资款.而x≥5时，由f(x)=10x-24>70，得x>9.4，取x=10，所以到2019年可以收回全部投资款.【方法技巧】1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用x,y分别表示.(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.(3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.【变式训练】(龙岩高一检测)《中华人民共和国个人所得税法》规定,个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税,超过3500元的部分为当月应纳税所得额),应缴纳的税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率%不超过1500元的部分3超过1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8000)元与当月应缴纳税款额y元的函数关系式.(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元,那么她当月工资总额是多少?【解析】(1)依题意可得：①当0＜x≤3500时，y=0.②当3500＜x≤5000时，y=(x-3500)·3%=0.03x-105.③当5000＜x＜8000时，y=45+(x-5000)·10%=0.1x-455,综上可得(2)因为需交税300元，故有5000＜x＜8000,所以300=0.1x-455,所以x=7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元.【补偿训练】高一某个研究性学习小组进行市场调查,某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t的函数,且销售量近似地满足g(t)=-t+110(1≤t≤100,t∈N),前40天的价格为f(t)=t+8(1≤t≤40,t∈N),后60天的价格为f(t)=-0.5t+69(41≤t≤100,t∈N).(1)试写出该种生活用品的日销售额S与时间t的函数关系式.(2)试问在过去100天中是否存在最高销售额,若存在,是哪天?【解析】(1)S=g(t)·f(t)(2)当1≤t≤40时，S=-t2+102t+880=-(t-51)2+880+512,在［1,40］上为增函数，所以当t=40时，Smax=-402+102×40+880=3360;当41≤t≤100时，S=0.5t2-124t=0.5(t-124)2-×1242,在［41，100］上函数为减函数，所以t=41时，Smax=412×0.5-124×41=3346.5.所以在过去100天中第40天的销售额最高，最高值为3360元.类型四分类讨论、函数与方程思想【典例4】(石家庄高一检测)试讨论函数f(x)=x2-2|x|-1-a(a∈R)的零点个数.【解析】令f(x)=0即x2-2|x|-1=a,令g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a,则问题转化为求函数g(x)与h(x)交点的个数,如图:①当a<-2时,g(x)的图象与直线h(x)=a无交点,方程x2-2|x|-1=a无实根,故函数f(x)无零点.②当a=-2或a>-1时,g(x)的图象与直线h(x)=a有两个交点,方程x2-2|x|-1=a有两个实根,故函数f(x)有两个零点.③当-2<a<-1时,g(x)的图象与直线h(x)=a有四个交点,方程x2-2|x|-1=a有四个实根,故函数f(x)有四个零点.④当a=-1时,g(x)的图象与直线h(x)=a有三个交点,方程x2-2|x|-1=a有三个实根