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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.72.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.3.已知为锐角,且,则等于()A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体中最长的棱长为().A. B. C.1 D.5.阅读下侧程序框图,为使输出的数据为31,则①处应填的数字为A.4 B.5 C.6 D.76.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.7.设集合,,则()A. B.C. D.8.已知,则p是q的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.函数的大致图象为()A. B.C. D.10.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则11.如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M,N,若,则的值是()A. B. C. D.12.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.能说明“在数列中,若对于任意的,,则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.(写出数列的通项公式)14.关于函数有下列四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于中心对称;③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)15.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.16.若变量,满足约束条件则的最大值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进行业务培训,设来自甲公司的人数为,求的分布列及数学期望.18.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.19.(12分)在中,角的对边分别为.已知,且.(1)求的值;(2)若的面积是,求的周长.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的面积.21.(12分)在直角坐标平面中,已知的顶点,,为平面内的动点,且.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点且不垂直于轴的直线与交于,两点,点关于轴的对称点为,证明:直线过轴上的定点.22.(10分)[选修4-5:不等式选讲]:已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设,,且的最小值为.若,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.2、A【解析】
先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.3、C【解析】
由可得,再利用计算即可.【详解】因为,,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.4、B【解析】
首先由三视图还原几何体,进一步求出几何体的棱长.【详解】解:根据三视图还原几何体如图所示,所以,该四棱锥体的最长的棱长为.故选:B.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体,考查运算能力和推理能力,属于基础题.5、B【解析】考点:程序框图.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环求S的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答案.解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i<5时退出,故选B.6、C【解析】
根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.7、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.8、B【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选:B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.9、A【解析】
利用特殊点的坐标代入,排除掉C,D;再由判断A选项正确.【详解】,排除掉C,D;,,,.故选:A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,代入特殊点,采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,属于中档题.10、C【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、C【解析】
直线恒过定点,由此推导出,由此能求出点的坐标,从而能求出的值.【详解】设抛物线的准线为,直线恒过定点,如图过A、B分别作于M,于N,由,则,点B为AP的中点、连接OB,则,∴,点B的横坐标为,∴点B的坐标为,把代入直线,解得,故选:C.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用,属于中档题.12、C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、答案不唯一,如【解析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.【详解】由题意知,不妨设,则,很明显为递减数列,说明原命题是假命题.所以,答案不唯一,符合条件即可.【点睛】本题考查对等差数列的概念和性质的理解,关键是假设出一个递减的数列,还需检验是否满足命题中的条件,属基础题.14、①②③【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数的定义域是,由于,在上递增,∴函数在上是递增,①正确;,∴函数的图象关于中心对称,②正确;,时取等号,∴③正确;,设,则,显然是即的极小值点,④错误.故答案为:①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性,考查导数的几何意义、导数与极值,解题时按照相关概念判断即可,属于中档题.15、【解析】
由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.16、9【解析】
做出满足条件的可行域,根据图形,即可求出的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,目标函数过点时取得最大值,联立,解得,即,所以最大值为9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),乙公司影响度高;(2)见解析,【解析】
(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【详解】(1)由直方图知,,解得,由频数分布表中知:,解得.所以,甲公司的导游优秀率为:,乙公司的导游优秀率为:,由于,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在中的有人,乙公司旅游总收入在中的有2人,故的可能取值为1,2,3,易知:,;.所以的分布列为:123P.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,是一道中档题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1);(2)【解析】
(1)由正弦定理可得,,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.【详解】(1)因为,所以,整理得:.因为,所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,则,因为的面积是,所以,即,解得,则.故的周长为:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.20、(1),;(2).【解析】
(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)计算出直线截圆所得弦长,并计算出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1)由得,故直线的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲线的直角坐标方程是;(2)因为曲线的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,则弦长.又到直线的距离为,所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.21、(1)();(2)证明见解析.【解析】
(1)设点,
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