高数-第五章文科高等数学

第三章变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分，叫做微分学.研究不定积分、定积分及其应用的部分，叫做积分学.微积分学本章介绍导数、微分的概念及其运算法则.可追溯到古希腊和我国魏晋时期16世纪应用萌生微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家Ferma

在研究极值问题中提出.英国数学家Newton牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼茨

(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.第一节

函数的局部变化率导数一、导数的概念与几何意义二、可导与连续的关系

三、高阶导数的定义主要内容：如图,取极限得

自由落体运动s=的瞬时速度问题一、抽象导数概念的现实原型原型一曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题(一).导数的定义1.函数在x0处的导数.定义:设函数在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在点x0处取得改变量时,函数取得相应的改变量如果当时,的极限存在,即:则称此极限值为在点x0处的导数(或微商)记为:二、导数的概念与几何意义存在若也称在的导数为无穷大

.说明:1.两种表达形式:2.一致性说明1.是瞬时变化率是平均变化率导数是平均变化率的极限2.是表示导数的一个整体符号.3.点导数是因变量在这点的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.2.自由落体运动的瞬时速度问题1.切线问题回顾原型一与原型二导数的几何意义.物理意义1).几何意义切线方程为2).物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.称为[t,t0]上的平均速度.三、由定义求导数步骤:(1)

求增量(2)

算比值(3)

求极限算比值注：常数的导数等于零.求增量求极限(2)算比值(3)求极限(1)求增量求增量算比值求极限(2)算比值(3)求极限(1)求增量例如,例2—例4的结果可以推广到幂函数解cosx是连续函数例解一般地：例如,证明:对数函数的导函数常用函数的导数：特别地特别地四、左导数和右导数右导数：左导数：定理

斜率为－1

斜率为1提示与分析：斜率为－1

斜率为1斜率为－1

斜率为1五、可导与连续的关系

反之不一定成立.可导一定连续，连续不一定可导.定理

定理凡可导函数都是连续函数.证注意:该定理的逆定理不成立.例:设问a,b为何值时,函数f