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文档简介

2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线(,)的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点,且椭圆的焦距为2,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.2.设全集,集合,,则()A. B. C. D.3.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.14.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.5.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则∁R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)6.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.7.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.8.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()A.7 B.8 C.9 D.109.()A. B. C. D.10.如图是国家统计局公布的年入境游客(单位:万人次)的变化情况,则下列结论错误的是()A.2014年我国入境游客万人次最少B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差11.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()A. B. C. D.12.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.数据的标准差为_____.14.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.15.在各项均为正数的等比数列中,,且,成等差数列,则___________.16.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前n项和,求.18.(12分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.20.(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.21.(12分)已知函数.(1)证明:函数在上存在唯一的零点;(2)若函数在区间上的最小值为1,求的值.22.(10分)已知,,为正数,且,证明:(1);(2).

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设双曲线的渐近线方程为,与抛物线方程联立,利用,求出的值,得到的值,求出关系,进而判断大小,结合椭圆的焦距为2,即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为,代入抛物线方程得,依题意,,椭圆的焦距,,双曲线的标准方程为.故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质,要注意双曲线焦点位置,属于中档题.2、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选:D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.3、A【解析】

利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.4、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.5、D【解析】

求函数的值域得集合,求定义域得集合,根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故选:D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.6、D【解析】

由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.7、D【解析】

根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.8、C【解析】

根据直线过定点,采用数形结合,可得最多交点个数,然后利用对称性,可得结果.【详解】由题可知:直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知:直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选:C【点睛】本题考查函数对称性的应用,数形结合,难点在于正确画出图像,同时掌握基础函数的性质,属难题.9、D【解析】

利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.10、D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论,C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A.由统计图可知:2014年入境游客万人次最少,故正确;B.由统计图可知:后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势,故正确;C.入境游客万人次的中位数应为与的平均数,大于万次,故正确;D.由统计图可知:前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大,所以对应的方差更大,故错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解,难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图,分析出对应的信息,对学生分析问题的能力有一定要求.11、B【解析】

列举出循环的每一步,可得出输出结果.【详解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,输出的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.12、D【解析】

计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解:样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为:【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.14、【解析】

根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.15、【解析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.【详解】因为,成等差数列,所以,由等比数列通项公式得,,所以,解得或,因为,所以,所以等比数列的通项公式为.故答案为:【点睛】本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式;考查运算求解能力和知识综合运用能力;熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键;属于中档题.16、【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率,利用点斜式求切线方程.【详解】因为,所以,又故切线方程为,整理为,故答案为:【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】

(1)设的公差为,的公比为,由基本量法列式求出后可得通项公式;(2)奇数项分一组用裂项相消法求和,偶数项分一组用等比数列求和公式求和.【详解】(1)设的公差为,的公比为,由,.得:,解得,∴,;(2)由,得,为奇数时,,为偶数时,,∴.【点睛】本题考查求等差数列和等比数列的通项公式,考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式,求通项公式采取的是基本量法,即求出公差、公比,由通项公式前项和公式得出相应结论.数列求和问题,对不是等差数列或等比数列的数列求和,需掌握一些特殊方法:错位相减法,裂项相消法,分组(并项)求和法,倒序相加法等等.18、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)由已知可得,结合,由直线与平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,则,,两两互相垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,设,0,,由二面角的余弦值为求解,再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:因为四边形是等腰梯形,,,所以.又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中点,连接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以为二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因为,所以,所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为所以,即,令,则,,则平面的法向量,,设直线与平面所成角为,则【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,属于中档题.19、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)根据题意,设直线方程为,联立方程,根据抛物线的定义即可得到结论;(2)根据题意,设的方程为,联立方程得,同理可得,进而得到,再利用点差法得直线的斜率,利用切线与导数的关系得直线的斜率,进而可得与互补.【详解】(1)由题意设直线的方程为,令、,联立,得,根据抛物线的定义得,又,故所求抛物线方程为.(2)依题意,设,,设的方程为,与联立消去得,,同理,直线的斜率=切线的斜率,由,即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,直线斜率的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.20、(1)增区间为,减区间为;极小值,无极大值;(2)【解析】

(1)求出f(x)的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;(2)由题意可得,,求出的表达式,,求出h(t)的最小值即可.【详解】(1)将代入中,得到,求导,得到,结合,当得到:增区间为,当,得减区间为且在时有极小值,无极大值.(2)将解析式代入,得,求导得到,令,得到,,,,,,,,因为,所以设,令,则所以在单调递减,又因为所以,所以或又因为,所以所以,所以的最小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值的意义,考查转化思想与减元意识,是一道综合题.21、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)求解出导函数,分析导函数的单调性,再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可;(2)根据导函数零点,判断出的单调性,从而可确定,利用以及的单调性,可确定出之间的关系,从而的值可求.【详解】(1)证明:∵,∴.∵在区间上单调递增,在区间上单调递减,∴函数在上单调递增.又,令,,则在上单调递减,,故.令,则所以函数在上存在唯一的零点.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函数在上单调递增.∴当时,,单调递减;当时,,单调递增.∴.由(*)式得.∴,显然是方程的解.又

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