2023届湖北省西南三校合作体高三3月份模拟考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.42.已知函数,,且,则()A.3 B.3或7 C.5 D.5或83.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.4.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步”(整数部分)及诸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简,又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例如:及时,如图:记为每个序列中最后一列数之和,则为()A.147 B.294 C.882 D.17645.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A. B.1 C. D.i6.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,若点,则的最小值为()A. B. C. D.7.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()A.14种 B.15种 C.16种 D.18种8.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.9.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.64种10.的展开式中的系数为()A.5 B.10 C.20 D.3011.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.12.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).14.过点,且圆心在直线上的圆的半径为__________.15.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:①;②函数在内有且仅有个零点;③不等式的解集为.其中,正确结论的序号是________.16.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的准线方程为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对任意都有,求实数的取值范围.18.(12分)在四棱锥的底面是菱形,底面,,分别是的中点,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.19.(12分)已知函数(1)若对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.21.(12分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.(1)求的方程;(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.22.(10分)已知函数,其中为实常数.(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

圆心坐标为,代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值.【详解】圆的圆心为,由题意可得,即,,,则,当且仅当且即时取等号,故选:.【点睛】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,考查运算能力,属于基础题.2、B【解析】

根据函数的对称轴以及函数值,可得结果.【详解】函数,若,则的图象关于对称,又,所以或,所以的值是7或3.故选:B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题,属基础题3、A【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.4、A【解析】

根据题目所给的步骤进行计算,由此求得的值.【详解】依题意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选:A【点睛】本小题主要考查合情推理,考查中国古代数学文化,属于基础题.5、A【解析】

由虚数单位i的运算性质可得,则答案可求.【详解】解:∵,∴,,则化为,∴z的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念,属于基础题.6、B【解析】

通过抛物线的定义,转化,要使有最小值,只需最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值.【详解】解:由题意可知,抛物线的准线方程为,,过作垂直直线于,由抛物线的定义可知,连结,当是抛物线的切线时,有最小值,则最大,即最大,就是直线的斜率最大,设在的方程为:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故选:.【点睛】本题考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系,转化思想的应用,属于基础题.7、D【解析】

采取分类计数和分步计数相结合的方法,分两种情况具体讨论,一种是黑白依次相间,一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2×7=14种;情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共4种.综上所述,共有14+4=18种.故选:D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用,插空法的应用,属于基础题8、B【解析】

转化,为,利用复数的除法化简,即得解【详解】复数满足:所以故选:B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.9、C【解析】

根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,有种分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,有2种情况,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,有种情况,此时有种情况,则有种不同的安排方法;故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.10、C【解析】

由知,展开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知,,因为展开式的通项为,所以展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项,解决这类问题要注意通项公式应写准确,本题是一道基础题.11、D【解析】

先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.12、B【解析】

根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.14、【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心,结合圆心所在直线方程,即可求得圆心坐标.由两点间距离公式,即可得半径.【详解】因为圆经过点则直线的斜率为所以与直线垂直的方程斜率为点的中点坐标为所以由点斜式可得直线垂直平分线的方程为,化简可得而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线上,设圆心所以圆心满足解得所以圆心坐标为则圆的半径为故答案为:【点睛】本题考查了直线垂直时的斜率关系,直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系,圆的半径的求法,属于基础题.15、①③【解析】

利用奇函数和,得出函数的周期为,由图可直接判断①;利用赋值法求得,结合,进而可判断函数在内的零点个数,可判断②的正误;采用换元法,结合图象即可得解,可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数,所以,又,所以,即,所以,函数的周期为.对于①,由于函数是上的奇函数,所以,,故①正确;对于②,,令,可得,得,所以,函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为,所以函数在内有个零点,分别是、、、、,故②错误;对于③,令,则需求的解集,由图象可知,,所以,故③正确.故答案为:①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质,涉及奇偶性、周期性和零点等知识点,考查学生分析问题的能力和数形结合能力,属于中等题.16、【解析】

代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解:双曲线经过点,,解得,即.又,故该双曲线的准线方程为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

利用零点分区间法,去掉绝对值符号分组讨论求并集,对恒成立,则,由三角不等式,得求解【详解】解:当时,不等式即为,可得或或,解得或或,则原不等式的解集为若对任意、都有,即为,由,当取得等号,则,由,可得,则的取值范围是【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.(1)含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(2)利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.18、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析.【解析】

(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面,据此证明题中的结论即可;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量与平面的一个法向量,然后求解线面角的正弦值即可;(Ⅲ)假设满足题意的点存在,设,由直线与的方向向量得到关于的方程,解方程即可确定点F的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得:,结合三角形中位线的性质可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知,,,以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:,设平面的一个法向量为,则:,据此可得平面的一个法向量为,而,设直线与平面所成角为,则.(Ⅲ)由题意可得:,假设满足题意的点存在,设,,据此可得:,即:,从而点F的坐标为,据此可得:,,结合题意有:,解得:.故点F为中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理,线面角的向量求法,立体几何中的探索性问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、(1);(2)见解析.【解析】

(1)将问题转化为对任意恒成立,换元构造新函数即可得解;(2)结合(1)可得,令,求导后证明其导函数单调递增,结合,即可得函数的单调区间和最小值,即可得证.【详解】(1)对任意恒成立等价于对任意恒成立,令,,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减;有最大值,.(2)证明:由(1)知,当时,即,,,令,则,令,则,在上是增函数,又,当时,;当时,,在上是减函数,在上是增函数,,即,.【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题,考查了利用导数证明不等式,考查了计算能力和转化化归思想,属于中档题.20、(1);(2).【解析】

(1)通过讨论的范围,分为,,三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过分离参数思想问题转化为,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.【详解】(1)当时,原不等式等价于,解得,所以,当时,原不等式等价于,解得,所以此时不等式无解,当时,原不等式等价于,解得,所以综上所述,不等式解集为.(2)由,得,当时,恒成立,所以;当时,.因为当且仅当即或时,等号成立,所以;综上的取值范围是.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.21、(1);(2)【解析】

(1)设出两点的坐标,由距离之积为16,可得.利用向

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