新教材2021-2022学年人教B版必修第一册2.2.4均值不等式及其应用第2课时作业

2.4均值不等式及其应用第2课时[A基础达标].如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于()A25口25A彳B.y一5-5班C.5D.-z-解析：选A.设直角三角形的斜边为C,直角边分别为4,b,由题意知c、=5,则〃2+。2=25,则三角形的面积S=%b.25因为25=。2+/22。6,所以出?小万，则三角形的面积5=/代卜沫=今当且仅当。=方=平时取等号，即这25个直角三角形面积的最大值为亍.2.某工厂第一年产量为4,第二年的增长率为小第三年的增长率为九这两年的平均增长率为x,则()a-\-bA.x=2B.xW-2a+ba+bC.x>~2-D.-5-解析：选B.由条件知B(l+〃)(l+b)=A(l+x)2,所以(l+x)2=(l+a)(l+b)一(1+〃)+(1+b)]2,.所以1+x<1+――,故xW2..(多选)设AO,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2~\~\>aC,(。+份(十+£)24D.若:+]=1,则HW4解析：选ABC.由于〃+l—4=（a—+1>0,所以4+1>〃，故A恒成立；由于a+522,匕+"22,所以（。+0,+力24,当且仅当。=8=1时，等号成立，故B恒成立；由于〃+心2，^,5+拉2\^,所以（〃+〃）•（十+?24,当且仅当a=h时，等号成立，故C恒成立；因为。>0,b>0,所以所以ab24,当且仅当a=b=2Cl口\/Cl'时，等号成立，故D不恒成立.故选ABC..三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明（）A.如果a>b,b>c,那么a>cB.如果公6>0,那么/C.对任意正实数。和〃，有〃2+b222ab,当且仅当〃=/?时等号成立D.如果c>0那么qc>Z?c解析：选C.可将直角三角形的两直身边长记作a,b,斜边长为c（c2=/+护）.则外围的正方形的面积为c2,也就是。2+序，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.故对任意正实数〃和〃，有。2+及22〃/?,当且仅当〃=/?时等号成立..已知〃=x+4（xv0）,则加，〃之间的大小关系是（）A.m>nB."z<〃C.m=nD."W/i解析：选A.因为a>2,所以“一2>0."7=。+~==。-2+-二+222、/（。-2）•~二+2=4,

a-2。一2\1a—2当且仅当。-2=」，即。=3时，等号成立.a~2因x<0,则〃=x+4<4,所以m>n..当时,不等式三的最小值是TOC\o"1-5"\h\z「11/I解析：~~~=x4-14-r=x-14-^+222、/(x-1)•-4-2=4,x—1x—1x—1\]x—1当且仅当工一1=」7，即x=2时，等号成立.X—1答案：4.如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dml图中阴影部分)，上下空白各宽2dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.解析：设阴影部分的高为xdm,72则宽为一dm,四周空白部分的面积是ydn?.由题意，得)，=(x+4)(¥+2)-72=8+2(x+9/~14428+2X2、/巴-=56(dm2).144当且仅当工=——，即x=12dm时等号成立.答案：56.规定记号表示一种运算，即。。力=两+。+仇m8为正实数).若1。仁3,则Z的值为,此时函数尸童的最小值为.解析：由题意得1。&=#+1+k=3,即女+#—2=0,所以#=1或#=人工”、，，kQx市+x+l,r,1.一2(舌去)，所以4=1,y===11+2=3,当且仅当也=左，即x=l时，等号成立.答案：13.设。>0,Z?>0,且证明：〃+822.证明：由于a>0,Z?>0,则a+H+9用abab由于〃+/»0,则于=1,即有〃+/?22砺=2,当且仅当a=b=\时取得等号，所以。+/?22..已知a,b,c£(0,+°°),且〃+Z?+c=1.求证：1+；+1N9.证明：因为mbyc£(0,+°°),且。+6+c=l,所以abc〃+/7+c,〃+/?+<?,〃+/?+c=~a-+-b-+-c-=3+（婚23+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=：时，等号成立.IB能力提升].若实数心>（）,>>（）,且x+4v=町，，则x+y的最小值为（）A.7B.8C.9D.1（）|4解析：选C.根据题意，实数Q0,)>0,若工+4)，=冷，，^]-+-=1,x+y=(x+y)停+乡寸+?+5^^|^+5=9,当且仅当x=2y,即犬=6,)，=3时等号成立，即x+y的最小值为9,故选C.12.已知不等式(x+)，)g+需16对任意正实数工，y恒成立，则正实数。的最小值为()A.1B.2C.4D.6解析:选C（x+y）（：+j）=4+a+（?+竽）,因为x>0,y>0,a>0,所以?+"22'/生芈=4或，当且仅当仝=结时取等号.由已知可得4+。+4g216,Vxy.1y即。+4g一1220,解得g22或gW—6（舍去），所以。24,即。的最小值为4..（2020•扬州期末）如图,在半径为4（单位:cm）的半圆形（。为圆心）铁皮上截取一块矩形材料A8CQ,其顶点A,8在直径上，顶点C,。在圆周上，则矩形ABCO面积的最大值为（单位：cm）解析：如图所示，连接。C,设|O8|=x（0vx<4）,则|80=2|0。2一|08|2="16—',\AB\=2\OB\=2x.所以，由均值不等式可得，矩形A5CQ的面积为S=|A3|・田。|=川々16一病=2、（16—4）fW（16-f）+f=16,当且仅当16—/uji2时，即当x=2啦时，等号成立.答案：16.不等式9x+?2〃+l（常数。>（））,对一切正实数工成立，求。的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z序a2解：常数〃>0,若9l+—2〃+1对一切正实数x成立，则a+lW9x+J的最小值，22又9x+?26。，当且仅当9犬=午，人人即X=W时，等号成立.故必有6〃2。+1,解得。所以〃的取值范围为42a.15.设a,乩c均为正数，且a+8+c=l.证明:(l)ab+be+acW；；〃2吩。2（2）石+7守,证明：（1）由。2+/22H,,庐+^22儿,血+。222cm得c^-\-b1+c1'^ab+bc-\rca.由题设得(〃+/，+c)2=l,得。z+3+d+ZH+ZA+Zconl.所以33。+权、+。。)(1,即ab+bc+cci<g.TOC\o"1-5"\h\z/hr/(2)因为了+力，2〃，一+。力2〃，一+〃22c,CCl〃2/故石+]+；Ha+/?+c)22(a+〃+c)(当且仅当时取等号)，(T[)r金即5+l+£》a+b+c又a+/?+c、=1,/F/所以牛+幺+J21.bca[C拓展探究]16.(2020・上海中学高一期中)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为忆轮船的最大速度为15海里/小时,当船速为1()海里〃卜时.时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时15()元.假定轮船以速度。匀速航行.⑴求出的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费+航行运作费用)的最小值.解:(1)由题意,设每小时的燃料费为用=切2,因为当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，所以当。=10时，Wi=96,可得96=%X1()2,解得-0.96.(2)因为其余航行运作费用(不论速度如何)