人教B版必修第一册1.1.3第一课时交集并集学案

集合的基本运算

第一课时交集、并集学习目标.通过实例理解两个集合交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集，以提升数学抽象素养和数学运算的核心素养..会使用维恩图表示集合的交、并运算，体会图形对理解抽象概念的作用，以渗透数形结合思想..通过集合运算的学习，感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比能力..交集⑴定义:一般地,给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集,记作AAB,读作“A交B”.◎⑵图形语言表示为:思考1:若两个集合没有公共元素,则两集合的交集是什么？答案:若两个集合没有公共元素,则两集合的交集是空集.思考2:若两个集合A,B的交集是空集,则两集合有什么特征？答案:若两个集合A,B的交集是空集,则两集合至少有一个是空集或者两集合虽不是空集，但是两集合没有公共元素..并集A.{1,2,3}B.{1,2,4)C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}解析:AGB={1,2},(AGB)UC={1,2,3,4}.故选D.5.设集合A={x|-3<x<n,xGZ},B={x|x=2k-1,k®Z},则AGB的元素有个.解析:因为集合A={x|-3<x<n,XGZ},B={x|x=2k-l,k£Z},所以集合A中的元素为-2,-1,0,1,2,3,而集合B中的元素为奇数,所以AGB={-1,1,3},AAB的元素个数为3.答案：3⑴定义:一般地,给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为A与B的并集,记作AUB,读作“A并B”.⑵图形语言表示为：思考3:集合AUB的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？答案:不一定相等.AUB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.思考4:根据两集合的并集的定义可知,集合AUB中的元素与集合A,B的元素有什么关系？答案:根据两集合的并集的定义,集合AUB中的元素与集合A,B的元素有以下三种关系：①x£A且xqB;②x£B且泊A;③x£A且x£B.交集、并集的运算性质您探究点一交集运算交集的运算性质并集的运算性质AAB=BAAAUB=BUAAAA=AAUA=AAG0-0AU0=AAGB=AAB=AAUB=AUB=B[例1]⑴设集合M二{T,0,1},N={xR=x},则MAN等于()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}⑵若集合A={x|-2WxW3},B={x|x<-l或x>4}，则集合AAB等于()A.{x|xW3或x>4}B.{x|T〈xW3}C.{x|3^x<4}D.{x|-2^x<-l}⑶已知A:{(x,y)14x+y=6},B={(x,y)13x+2y=7},则AAB=.解析：(1)N={xlx'x}二{0,1},所以MAN={0,1}.故选B.⑵将集合A,B表示在数轴上，由图可得AGB={x|-2Wx<-1}.故选D.(3)AAB={(x,y)|4x+y=6}A{(x,y)|3x+2y=7}={(x,y)I梁:七_6)}={(1，2)}.答案：⑴B(2)D(3){(1,2)}求集合AAB的步骤与方法(1)步骤①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么.②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“AGB”的形式.③把化简后的集合A,B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素,则所求交集为0).⑵方法①定义法.若集合是用列举法表示的,可以直接利用交集的定义求解；②数形结合法.若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解,但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.针对训练：⑴设集合人二年|-1«}加&|0。忘4},则八013等于()A.{x|0WxW2}B.{x|lWxW2}C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}(2)已知集合A={x|x=3n+2,n£N},B={6,8,10,12,14),则集合AAB中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2解析：(1)因为A={x|TWxW2},B={x|0WxW4},在数轴上标出集合A,B,如图,故AAB={x|0〈xW2}.故选A.(2)因为8=3X2+2,14=3X4+2,所以8£A,14£A，所以AAB二所14).故选D.[备用例1](1)若A={x£N|lWxW10},B=G£1^^2+乂-6=0},则图中阴影部分表示的集合为()A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}⑵设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}，若AGB={1},则集合B等于A.{-3,1}B.{0,1}C.{1,5}D.{1,3}解析：(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知，阴影部分为AAB,AAB={2}.故选A.⑵因为AC1B=⑴，所以1£B,所以1是方程x2-4x+m=0的根，所以l-4+m=0,所以m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}.故选D.至探究点二并集运算[例2](1)设集合A={1,2,3),B=⑵3,4,5},求AUB;(2)设集合A:{x|-3<xW5},B={x|2<xW6}，求AUB.W：(1)AUB={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5).⑵画出数轴如图所示.所以AUB={x|-3〈x《5}U{x|2〈xU6}二{x|-3<xW6}.并集运算应注意的问题⑴对于描述法给出的集合,应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集,还是点集,然后将集合化简,再按定义求解.⑵求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个.⑶对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到.针对训练：（1）已知集合M={T,O,1},P={O,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是（）A.{0,1}B.{0}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}⑵若集合A={x|x>-l},B={x|-2<x<2},则AUB二.解析：⑴由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是MUP.因为M=1},P={0,1,2,3},故MUP=1,2,3}.故选D.（2）画出数轴如图所示,故AUB={x|x>-2}.答案：（1）D（2）{x|x>-2}您好一集合交集、并集的应用［例3］已知集合A={x12<x<4},B={x|a<x<3a（a>0）}.⑴若AUB二B,求a的取值范围；⑵若AGB二0,求a的取值范围.解：（1）因为AUB=B,所以ACB,根据题意作出如图所示的数轴，观察数轴可知，1公所以欠aW2.（2"门8=0有两类情况:8在A的左边和B在A的右边,如图.观察数轴可知,a24或3aW2,又a>0,所以（KaW?或a24.3针对训练：已知A={xa〈xWa+8},B={x|x<-l或x>5}.若AUB=R,求a的取值范围.解：由题意得a〈a+8,又B={x|x<-l或x>5},在数轴上标出集合A,B,如图.所以{:肾5,所以-3Wa〈T.［备用例2］已知集合人=卜|0忘*忘4},集合B={x|m+lWxWl-m}.⑴若AUB二A,求实数m的取值范围；（2）若AGB=A,求实数m的取值范围.解：（1）因为AUB=A,所以BUA.因为A二为|0WxW4},所以B=0或BW。.当B=0时,有解得m>0;当BWo时,用数轴表示集合A和B,如图所示，（m+1<1-m,因为BcA,所以0<m+l,解得TWmWO.（1-m<4,综上可得,实数m的取值范围是［-1,+8）.⑵因为AGB=A,所以AGB.如图，所以解得mWT.故实数m的取值范围是（,-3］.核心素养一一数形结合法求解集合运算个数问题［典例］某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有人.解析：设只爱好音乐的人数为X人,两者都爱好的人数为y人,只爱好体育的人数为z人，作维恩图如图，则x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.答案：26有限集中元素的个数的求法我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,用card来表示有限集的元素个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB);card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(APlBAC).［素养演练］某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有人.解析：由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学三个小组，设参加数学、物理、化学小组的人数组成的集合分别为A,B,C,则card(AABAC)=0,且card(AAB)=6,card(BBC)=4,由card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(AABCC),易知36=26+15+13-6-4-card(AAC),故card(APC)=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.答案：8.下列说法中正确的有（B）⑴交集的元素个数一定比参与运算的任何一个集合的元素个数少；⑵若AUB=A,则B中的每一个元素都在集合A中；（3）AnB=CAB,贝A=C;（4）两集合均不为空集,则两集合的并集不可能为空集.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由AAA二A可知，（1）错误;若AUB二A,可得集合B是集合A的子集，（2）正确；当交集都是空集时，集合A与C不一定相等，（3）错误;两集合均不为空集,则两集合的并集不可能为空集，（4）正确.因此正确的个数为2.故选B..已知集合A;{x|-3<x-l<4},B={x|l-x>0}，贝ljAAB等于（C）A.{x|x<5}B.{x|Kx<5}C.{