专题2-2基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题2.2基本不等式TOC\o"1-5"\h\z【考点I：由基本不等式求最值或取值范围】1【考点2：由基本不等式证明不等式】1【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】4【考点4：利用基本不等式解决实际问题】5【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【知识点：基本不等式】一.基本不等式：4"（1）基本不等式成立的条件:〃>0,b>（）.（2）等号成立的条件：当且仅当。=力时取等号.二.几个重要的不等式：a2-^-b2>2ab,a,bER,当且仅当时取等号；-+7>2,Qb>0,当且仅当〃=/?时取等号；abab<q,bER,当且仅当〃=%时取等号；亨之（军），q,beR,当且仅当。时取等号；三.利用基本不等式求最值问题：已知.00,y>0,则：（1）如果积孙是定值p，那么当且仅当％=），时，%+），有最小值是2布.（简记：积定和最小）（2）如果和x+.v是定值p,那么当且仅当工=），时，.。有最大值是苧（简记：和定积最大）TOC\o"1-5"\h\z（2022春•甘孜州期末）y=%1）的最小值为（）A.2B.3C.4D.5（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x,），满足工+y=4,则阴的最大值（）A.2B.4C.6D.841（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数〃，人满足一T+二•=1，则。+28的最小值为（）a+bb+1A.6B.8C.10D.12A.8B.8V2C.9D.9V2（2022春•内江期末）已知正实数a、5满足a+〃=4,则（a++》的最小值为（）A.8B.8V2C.9D.9V2L25厂A.2V2+2B.4C.—D.2或+14（2022春•内江期末）已知正实数〃、。满足：+*=根，若（。+》（b+》的最小值为4,则实数m的取值范围是（）A.{2}B.[2,+OQ）C.（0,2]D.（0,+«＞）（2022春•温州期末）若正数小〃满足a+b=",则a+2〃的最小值为（）A.6B.4a/2C.3+2V2D.2+272（2022春•朝阳区校级期末）已知第冶，求、=空毕的最小值（2022春•丽江期末）若正数a,Z?满足a+2b=ab,则2a+A的最小值为.（2022春•台州期末）已知非负实数x,丁满足&；+£%=1，则x+N的最小值为一.（2022春•石家庄期末）已知面＞0,a+b=1,则"二的最小值为（2022春•长春期末）已知a,都是非零实数，若J+4扇=3,则吃+金的最小值为a2bz114（2022春•岚山区校级月考）已知%y＞3,且2计），=7,则一；+—:的最小值为2/2x-ly-33x（2022•烟台三模）当心＞0时，-丁的最大值为x2+4（2022春•西青区校级月考）已知x＞0,y＞0,且x+2y=2,则&+三包的最小值为'x3y（2022春•温州期中）已知。＞匕＞0,当2。+熹+工取到最小值时，则a=Q十。Q—04（2022•南京模拟）（1）已知x＞3,求一+%的最小值；x-313（2）已知x,y是正实数，且x+y=l,求嚏+1的最小值.（2021秋•新泰市校级期末）已知实数。＞0,b＞0,a+2b=2.

⑴求卜触最小值；（2）求J+4庐+5帅的最大值.【方法技巧I】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.【方法技巧2】通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值.【考点2：由基本不等式证明不等式】TOC\o"1-5"\h\z（2022春•郸都区校级期末）若实数x、1y满足/+丁=1+工），，则下列结论中，正确的是（）A.x+yWlB.x+y^2C.D.（2022春•尖山区校级月考）若a>0,/?>0,a+b=2,则（）A.ab^\B.y[a+y/b>2C.扇22D.~+~<2ab（2022春•肥东县月考）对于不等式①«+V6>2V5,®x+\>2（xW0）,③必不正>^y（a+b）（a、bER）,R）,下列说法正确的是（A.①③正确，②错误R）,下列说法正确的是（A.①③正确，②错误R）,下列说法正确的是（A.①③正确，②错误B.②③正确，①错误c.错误，③正确c.错误，③正确c.错误，③正确D.①③错误，②正确【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】TOC\o"1-5"\h\z231.（2021秋•武清区校级月考）设Q0,y>0>设一+-=1,若3x+2）>#+2机恒成立，则实数小的取xy值范围是（）A.{小・-6或工24}B.{#忘-4或326}C.{.r|-6<x<4）D.{x\-4<x<6）（2021秋•兰山区校级期中）已知。>0,b>0,a+2b=ab,若不等式2a+b22〃尸・9恒成立，则用的最大值为（）A.1B.2C.3D.7zn1（2021秋•新兴县校级月考）已知m>0,孙>0,当x+y=2时，不等式一+一工2恒成立，则机的取值%y范围是（）A.V2<m<2B.启1C.0V〃W1D.l〈mW2（2022春•合肥期末）若两个正实数x,），满足心+9=1,且不等式«+4万>zu2-6m恒成立，则实数机的取值范围是—.（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式2W；十三恒成立，则实数a的取值范围x+y2xy是—.19（2021秋•黑龙江期末）已知北>0,）>0且以+1=1,求使不等式恒成立的实数机的取值范围.（2020秋•安庆期末）已知正实数x,y满足4x+4y=I.（1）求xy的最大值；（2）若不等式,+工之02+50恒成立，求实数。的取值范围.xy（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x,y满足2r+y-xy=0.（1）求2r+y的最小值；（2）若x（y+2）-4&＞7712+5m恒成立，求实数的取值范围.（2021秋•华龙区校级期中）已知心＞0,）＞0,且x+y=2.（1）求工+2的最小值；xy（2）若4x+l-irkxy^O恒成立，求m的最大值.【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【知识点：利用基本不等式解决实际问题】⑴此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P,第三年比第二年的增长率是尸2,而这两年的平均增长率为P,在P+P2为定值的情况下，户的最大值为—（用P、P1表示）.（2021秋邛日春市校级月考）用一段长为32机的篱笆围成