大学物理第四章

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任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.★物体围绕一固定位置往复运动，称为机械振动。其运动形式有直线、平面和空间振动.

机械振动可分为周期和非周期振动★

简谐振动最简单、最基本的振动.谐振子作简谐振动的物体.简谐振动复杂振动合成分解一、简谐振动的动力学方程及其解——运动方程为说明简谐振动的基本特征，先看两个具体的例子。例4-1

水平弹簧振子的运动。弹簧振子：连接在一起的由一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体组成的系统设x轴的原点与弹簧的平衡位置重合，振子在任意位置时所受合外力为令动力学方程

由牛顿第二定律，得例4-2

单摆小角度摆动小角度摆动，重力矩可以写成定义正方向：以逆时针为正根据转动定理一根质量可以忽略并且不会伸缩的细线长l

，上端固定，下端系一质量为m可看作质点的摆球，就构成一个单摆。可以看作定轴转动的刚体动力学方程

令简谐振动的定义：

如果质点的动力学方程可以归结为的形式，且其中的决定于振动系统本身的性质，则该质点的运动称为简谐振动。积分常数，根据初始条件确定上述二阶常系数线性齐次微分方程的通解为：二阶常系数线性齐次微分方程简谐振动物体的速度：简谐振动物体的运动方程：图图图简谐振动物体的加速度：二、描述简谐振动的特征量1振幅作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值A，称为振幅。在SI中，振幅的单位:m。

图2相位与初相位相位：相位初相位初相位：当t=0时，称为初相位1）存在一一对应的关系;讨论：3）初相位

a描述质点初始时刻的运动状态.即t=0时质点的运动状态2）相位在内变化时，质点无相同的运动状态；相差为整数

质点运动状态全同.（周期性）4）设两个振动状态所对应的相位分别为若，称振动状态1超前于振动状态2；若，称振动状态1滞后于振动状态2；若，称振动状态1与振动状态2同步或同相。初始条件

对给定振动系统，振幅和初相由初始条件决定.常数A和a

的确定3周期和频率（1）周期物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用T表示在SI中，周期的单位:s

周期仅与振动系统本身的物理性质有关。弹簧振子单摆x单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用表示。(2)频率(3)圆频率或角频率w与频率n只相差常数2p倍,称圆频率或角频率.在SI中，频率的单位:Hz周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关，称固有周期、固有频率和固有圆频率。例4-3

原长为0.50m的弹簧上端固定，下端挂一质量为0.1kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.60m，若将砝码向上推，使弹簧回到原长，然后放手，则砝码做上下振动。（1）证明砝码的运动为简谐振动；（2）求此简谐振动的振幅、角频率和频率；（3）若从放手时开始计时，求此简谐振动的振动方程解（1）以振动物体的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的Ox坐标系。设t时刻砝码位于x处，由牛顿第二定律，得①式中x0为砝码处于平衡时弹簧的伸长量，有②式代入①式，化简，得因此，砝码的运动为简谐振动。①②(2)砝码振动的角频率和频率分别为设砝码的谐振动方程由初始条件,t=0时,x=-x0=-0.1m,v=0,则其速度公式为(3)简谐振动的振动方程为得:A=0.1ma=p三、简谐振动的几何描述——旋转矢量法1.旋转矢量1）旋转矢量的模等于简谐振动的振幅A

2）旋转矢量绕O点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率。3）在t=0时，矢量A和x轴的夹角为a,矢量A的矢端在x轴上的投影点的坐标为矢量A的矢端在x轴上的投影点的坐标为在任意时刻t

，旋转矢量与x轴的夹角为

以O为原点的旋转矢量的端点在Ox轴上的

投影点的运动为简谐运动.2.用旋转矢量表示简谐运动的速度和加速度在x轴上的投影3.简谐振动的旋转矢量表示法如果画一个图表示出作匀速圆周运动的质点的初始径矢的位置，并标以w，则相应的简谐运动的三个特征量都表示出来了，因此可以用这样一个图表示一个确定的简谐运动.简谐运动的这种表示法叫做旋转矢量法.例4-4

物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0s，t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求

(1)t=0.5s时物体的位移；(2)何时物体第一次运动到x=5cm处?(3)再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?解由已知条件，该谐振动在t=0时刻的旋转矢量位置如图所示.由图及初始条件可知

由于所以,该物体的振动方程为-5(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为(2)当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为p，如图所示，所以有(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过2p/3-55以弹簧振子为例振幅的动力学意义四、简谐振动的能量动能势能由于总能量(1)

线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.(2)在作简谐振动的过程中，振动系统的动能和势能相互转换，但其总能量为一恒量。结论简谐运动能量曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐振动能量曲线

4T2T43T能量一、机械波形成的条件波源介质+弹性作用机械波1.机械波产生的条件：1）波源；2）弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.2.横波与纵波机械波基本的类型有两种:一种叫做横波；另一种叫做纵波。（1）横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播）波谷波峰波的传播方向质点振动方向

特征：具有交替出现的波峰和波谷。（2）纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）

特征：具有交替出现的密部和疏部.波密波疏质点振动方向波的传播方向横波纵波示意图二、描述波动的特征量1波长l

：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为2p

的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-2.波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间。

3.波的频率

n

：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目。n=1/T4.波速u：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）。注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！三、波的几何描述1.波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。2.波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。3.波射线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向(简称波线)*球面波平面波波前波面波线在各向同性介质中，波线是和波面垂直的。一、平面简谐波的波动方程简谐波：在波动过程中，当波源简谐振动时，传波介质中的各质点也在简谐振动，且振动的频率与波源相同.这种波称为简谐波.

平面简谐波：波面为平面的简谐波。波动方程：介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为

y）随时间的变化关系，即

y(x,t)

称为波动方程。各质点相对平衡位置的位移波线上各点的位置设一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速为u，设坐标原点O和坐标为x的任意一点P各放置一个经严格校准的、完全相同的钟,当O点和P点分别开始振动时,各自位置的钟开始计时

1平面简谐波的波动方程将x轴上任意一点的振动情况用y=y(x,t)的形式表示当波传到某点时，某点的钟开始计时.将点O,P的钟所计时间分别称为标准时t和地方时tp.设点O处的质点在某时刻t0的振动状态为

此状态沿x轴正向传至点P时，P的状态与上式相同，且点P的钟所计时间为tp=t0，或此时点O的钟所示时间已变为t'当我们统一用标准时表示坐标为x的任一质点P在任一时刻偏离平衡位置的位移y时，就有平面简谐波的波动方程利用关系式和，得当平面简谐波沿x轴负向传播时，点P的振动状态(相)将超前于点O，或者说点P的钟比点O的钟先走.于是两钟的时差变为从而波动方程变为利用关系式和，得2波动方程的物理意义(1)当固定式中的x=x0时，则y仅为时间t的函数.也就是说此时波动方程给出的是坐标为x0的指定质点的振动方程，有

此方程说明了每个质点振动的周期性，即波动的时间周期性.据此可以作出该质点的y-t振动曲线。两点的相位差为其初相位差：两点的波程差为：在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：相位差和波程差(2)

当固定式中的t=t0时，则y仅为坐标x的函数.即此时波动方程给出了t0时刻各传波质点偏离平衡位置位移y的空间分布，即t0时刻的波形，有

uv-例4-5

已知一列平面简谐波沿x轴正向传播，波速u=3m·s-1，圆频率w=p/2Hz，振幅A=5m，依次通过A、B两点，并有xB-xA=3m.当t=0时，A处的质点位于平衡位置并向振动正方向运动.(1)分别以A、B为坐标原点写出波动方程；(2)点B在t时刻的状态相当于点A何时的状态?

解（1）以A为坐标原点时，点A的振动初相为a=-p/2于是波动方程为以B为坐标原点时，B与A的相位差等于其初相差

所以由此可写出波动方程(2)由于点B在t时刻应与点A在t′时刻的状态(相)相同，应有代入数据后可解出

即点B在t时刻的状态相当于点A在t-1时的状态.这实际上是点A的振动超前于点B的结果.例4-6

已知一列平面简谐波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形如图中的实线所示.求：(1)t=T/4时的波形曲线；(2)坐标x=l/4的质点的振动曲线(T、l分别为波的周期和波长).

解（1）由波动过程的空间周期性，沿着波的传播方向每个质点在t+Δt时刻都在重现它前面的质点在t时刻的状态，因而整个波形应沿传播方向平移vΔt

的距离.当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移l/4的距离.于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.

由图中的两条曲线可得到坐标x=l/4的质点在t=0、T/4时的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线，如图所示.

二、波的能量和能流1波的能量

波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹性势能的总和即为该质元含有的波的能量.

在波线上坐标为x处取一个体积元△V，其质量dm=△V

该体积元的振动速度为xO设平面简谐波为该体积元△V的动能为

可以证明，因为介质形变，体积元△V的势能与动能相等

在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大—平衡位置，同时最小（为零）—最大位移处。体积元△V的机械能为单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度。能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度。

2波的能流单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P表示。能流密度：对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度，以I表示。又称波的强度。在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米：W·m-2u3波的振幅

在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的.

对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度分别为I1,I2.由于S1＝S2，且根据能量守恒，在单位时间有所以从而因为S1=S2

对球面波仍有即所以（振幅与半径成反比）

令有由此可写出球面简谐波的波动方程其中号表示波的传播方向。一、惠更斯原理在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经Δt

时间后形成半径为uΔt

(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包迹就是t+Δt

时刻的新波面.这就是惠更斯原理.球面波平面波O障碍物的小孔成为新的波源原波阵面新波阵面S1S2t时刻t+Dt

时刻uDt二、波的反射与折射

反射线与入射线和界面法线位于同一平面内，并且入射线与法线的夹角(入射角)等于反射线与法线的夹角(反射角).这就是波的反射定律.1波的反射N界面RN界面IRA用惠更斯原理证明反射定律波的反射定律用惠更斯原理证明反射定律设平面波AB以波速v入射到两种介质1和2的分界面MN上.在不同时刻，波前的位置分别为AB，CC＂，

DD＂，

EE＂，….由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA'=BB′，CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B′，….中心在A，C，D，E，…的一组圆柱面的包迹A′B′就是反射波的波前.当振动由点B传至点B′，由C＂传至B′,……在点A，C，D，E，…发出的次波分别通过了由半径AA′，CC′，DD′，EE′，…所决定的距离.

1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；2）

2波的折射N界面RN界面IRA用惠更斯原理证明折射定律波的折射定律当波在第一种介质中通过距离BB′时，波在同一时间内将在另一种介质中通过距离AA′.二者之比应等于波在两种介质中的波速u1、u2之比，即有用惠更斯原理证明折射定律因为所以三、波的衍射

水波通过狭缝后的衍射波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物的现象.

波的衍射····a障碍物的小孔成为新的波源一、波的叠加原理

实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互不影响，这称为波传播的独立性.

在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为

波的叠加原理.1波传播的独立性2波的叠加原理二、波的干涉两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。1）频率相同；2）振动方向相同；3）相位相同或相位差恒定。波的相干条件**波源振动P点的两个分振动P点的合振动为P点的合振动为其中两个分振动的相位差为由于的值是由波源决定的，且对空间各点此值都相同，故可令其为零，从而有说明1）当时，即合振幅最大，振动最大加强波程差r1-r2=

kl,k=0,1,2,……2）当时，即合振幅最小，振动最大减弱波程差3)其他波程差合振幅最大，振动最大加强1）波程差合振幅最小，振动最大减弱2)波程差r1-r2=

kl,k=0,1,2,……三、驻波

驻波是由频率、振动方向和振幅都相同，而传播方向

相反的两列简谐波叠加形成的。

驻波是一种特殊的波的干涉现象，它在每时刻都有一定的波形，而这波形是驻定不传播的，只是各点的位移时大时小。1驻波的物理图象

各点以相同的ω作简谐振动。

各点的振幅随位置而变，但与时间无关

振幅为零的点－波节

振幅最大的点－波腹

实验结果：xy波节波腹2驻波方程

设一列波沿x轴的正方向传播，另一列波沿x轴的负方向传播.选取共同的坐标原点和时间零点，它们的波函数为在两波相遇处，各质元的合位移应为各质点都在作同频率的简谐运动驻波的振幅与位置x有关1波节和波腹的位置

波节：静止

波腹：振幅最大讨论

相邻波腹（节）间距相邻波腹和波节间距xy波节波腹2.相位——驻波分段振动的特点

相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生的相位跃变。（与行波不同，无相位的传播）。为波节例相邻波节间的各点同相,波节两边的各点振动反相.设某时刻

这说明驻波是以波节划分的分段振动，相位不传播.3.驻波的能量ABC波腹波节位移最大时平衡位置时全部质元的位移最大时，各质元的速度为零，能量全部为势能，并要集中在波节附近；当全部质元都通过平衡位置时，各质元恢复到自然状态，且速度最大，能量全部变成动能，并主要集中在波腹附近.驻波相邻的波节和波腹之间的λ/4区域实际上构成一个独立的振动体系，它与外界不交换能量，能量只在相邻波节和波腹之间流动.四、半波损失

在两种介质的交界处，可以把介质分为波密介质和波疏介质把密度与波速u的乘积u较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生p的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.

当波垂直入射到两种介质的交界面是，在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和波速u

的乘积决定

当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。

驻波的规律在声学(包括音乐)、无线电学、光学(包括激光)等学科中都有着重要的应用.往往可以利用驻波测量波长

或系统的振动频率.一、多普勒效应发射频率n：波源性质决定发射频率接收频率接收频率n’：观测频率，观测波长和观测波速决定

在波源与观察者有相对运动时，观察者接收到的频率ν′

与波源频率ν存在差异的现象就称为多普勒效应.发射频率接收频率二、多普勒效应的定量研究首先讨论波源与观察者在同一直线上运动的情形.设波源、观察者相对于传波介质的速度分别为u，v.另外设介质中的波速为V，对机械波而言，V与u、v无关.

（1）波源与观察者相对于传波介质静止(即u=v=0)单位时间内观察者接收的波数为即观察者接收到的频率与波源频率相同.·VS（2）波源静止，观察者相对于传波介质运动(即u=0，假定v>0)此时因观察者以速度v迎向波源运动，这相当于波以速度V+v通过观察者，因此单位时间内通过观察者的波数为VS·u=0·Rv·观察者迎向波源运动v>0观察者背离波源运动v<0观察者与波相对静止v=-V（3）观察者静止，波源相对于传波介质运动(即v=0，假定u>0)ABuV波源运动的前方波长缩短BuS··R'lB'l若波源背离观察者运动，u<0，则观察者接收到的频率ν′就会因波长变长而使ν′<ν了.B'l(4)观察者和波源同时相对于传波介质运动A若二者彼此靠近观察者以速度v迎向波源运动，相当于波速变为V+v；因此，观察者所接收到的频率ν′应为而波源以速度u迎向观察者运动，相当于波长缩短为B若二者彼此远离由于机械波是通过介质传播的，因此观察者和波源相对于介质运动的速度v和u在公式中的地位是不对称的.也就是