积分变换在偏微分

积分变换在偏微分方程中的应用答辩人：王成林171406130指导老师：韩献军答辩时间：2010年5月26日摘要我们主要研究的是偏微分方程对应的常微分方程的Green函数，利用这个Green函数可以把原来的偏微分方程的初（边）值问题化为一个积分方程的形式，进而对积分方程进行解的讨论。显然，不同的偏微分方程的不同的初（边）值问题对应于不同的常微分方程。常微分方程Green函数的介绍Green函数，又称点源数或者影响函数，是数学物理中的一个重要概念。这概念之所以重要是由于以下原因：从物理上看，一个数学物理方程表示的是一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（例如热传导方程表示温度场和热源的关系，Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等等），而Green函数则代表一个点源产生的场，知道了一个点源的场，就可以用迭加的方法算出任意源的场（空间连续分布的“源”可以堪称是“无穷多”点源的迭加）。例如，静电场的电势u满足Poisson方程

(2.1)其中，是电荷密度，根据库伦定律，位于点的一个正电荷在无界空间中点处产生的电势是

(2.2)由此可求得任意电荷分布密度为的“源”在点所产生的电势为

(2.3)

其中d为空间体积元的简写。式(2.2)中称为方程(2.1)左边Laplace算符在无界空间中的Green函数，用它可以求出方程(2.1)在无界空间的解式(2.3)。在一般的数学物理问题中，要求的是满足一定边界条件和（或）初始条件的解，相应的Green函数也就比举例的Green函数要复杂一些，因为在这种情形下，一个点源所产生的场还受到边界条件和（或）初始条件的影响，而这些影响本身也是待定的。

几类常见的常微分方程的Green函数

3.1Cauchy问题的Green函数考虑经典力学中受迫阻尼振子方程的Cauchy问题，t>0;x(t)=;(3.1.1)其中算子

L=-()（3.1.2）为阻尼常数，为系统频率。根据函数的性质，不妨把式(3.1.1)写成

Lx=（3.1.3）如果定义函数G(t，)满足

LG()=，>0(3.1.4)根据L的线性性质应有（3.1.5）事实上，上式两边作用L，并利用(3.1.4)Lx==（3.1.6）因此只要求得，即可求得非齐次方程(3.1.1)的一个特解，为了满足初始条件，注意到齐次方程存在二个线性独立解和，于是可得式(3.1.1)的通解为（3.1.7）其中常数a和b由初始条件决定。由式(3.1.4)决定的函数称为Cauchy问题的Green函数。

边值问题的Green函数考虑二阶非齐次方程的边值问题（3.2.1）其中

L=-（3.2.2）

>0和0.由于上述问题的方程非齐次，但边界条件齐次，故称为半齐次Strum-liouville边值问题。定义Green函数G(X,)满足LG=（3.2.3）式（3.2.1）的解可表示为（3.2.4）由于满足齐次边界条件，故u（x）也满足。因此上式是（3.2.1）的解，但此解是否唯一?显然，如果齐次方程的齐次边值问题有非零解（即是L的本征值），上式不是式（3.2.1）的唯一解，因为假定满足

L=0（3.2.5）及齐次边界条件，则

也是式(3.1.1)的解。此时，并不是对任何f（x），边值问题式(3.1.1)都有解。事实上，由关系（3.2.6）因Lu=f（x）和L，故有

=（3.2.7）又因和u满足齐次边界条件，容易证明上式右边为零，因此得相容性条件

=0（3.2.8）即必须与正交，式（3.2.1）才有解。与Cauchy问题的Green函数作一比较：在Cauchy问题中，齐次方程满足Cauchy数据的非零解总存在，但在边值问题中，齐次方程满足齐次边界条件的非零解不一定存在。假定0，即=0不是L的本征值。这时，可以证明Green函数存在且唯一。设与是式（3.2.3）的两个解，则

满足齐次边界及齐次方程，故利用式（3.2.3）边界条件第二式，容易证明；故恒有，亦即。下面用构造法求，设和分别是齐次方程Lu=0的两个解，取满足x=a处的齐次边界条件，而满足x=b处的齐次边界条件。和显然线性独立。因为如果和线性相关，则=常数，因此，同时满足x=a与b两端边