离散时间随机过程(第二讲2)

离散时间随机过程第二讲1随机变量由概率论可知，我们可以用一个随机变量X来描述自然界中的随机事件，若X的取值是连续的，则X为连续型随机变量，若X的取值是离散的，则X为离散型随机变量。2随机变量的特征描述概率分布函数概率密度均值均方值（二阶原点矩）方差（二阶中心矩）协方差3随机变量举例－均匀分布均匀分布的随机变量是一个随机试验结果“可能性相等”情况下的理想模型，其概率密度p(x)和概率分布函数P(x)为：其均值和方差为。4随机变量举例－高斯分布正态分布的随机变量也称高斯随机变量，是一个在实际中应用非常广泛和方便的模型。其概率密度为：显然，高斯分布的随机变量概率密度函数完全由它的平均值和方差来描述，它可用表示。5随机信号（随机过程）在相同条件下独立地进行多次观察时，各次观测到的结果并不相同。为了全面了解输出电压的噪声特征，从概念上讲，应该在相同的条件下，独立地作尽可能多次的观察，这就如同在同一时刻，对尽可能多的同样的放大器各作一次观察。这样，我们每一次观察都可以得到一个记录

如果把对放大器输出电压的观察看作一个随机试验，那么，每一次记录就是该随机试验的一次实现，相应的结果就是一个样本函数。所有样本函数的集合就构成了输出电压可能经历的整个过程，该集合就是一个随机过程，也即随机信号，记为X(t)。

6随机信号与随机变量对于一个特定的时刻，例如，是一个随机变量，相当于在某一时刻同时测量无限多个相同放大器的输出。当时，也是一个随机变量。因此，一个随机信号X(t)是依赖于时间t的随机变量。这样，就可以用描述随机变量的方法来描述随机信号。对下图中的随机信号X(t)离散化，得到离散随机信号，简记为。对X(n)的每次实现记为，显然，对某一固定时刻，如时，构成一个随机变量。若随i的变化仍取连续值，那么是连续型随机变量，否则，为离散型随机变量。

7随机信号的特征描述均值方差均方值自相关函数

自协方差函数

互相关函数互协方差函数上面所述各式右边的求均值运算体现了随机信号的“集总平均”，该集总平均是由X(n)的无穷多样本在相应时刻对应相加或乘加来实现的。

9平稳随机信号平稳随机过程：指一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，即在到时间段内的噪声统计特性与到时间段内的噪声统计特性相同；随机过程的统计特性与起始时间无关，只取决于时间差。离散平稳随机信号：一个离散时间信号X(n)，如果其均值与时间n无关，其自相关函数和、的选取点无关，而仅和、之差有关，那么，称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。10平稳随机信号的特征描述均值方差均方自相关函数

11平稳随机信号的特征描述自协方差两个平稳随机信号X(n)、Y(n)的互相关函数及互协方差函数可分别变为

12平稳随机信号的各态遍历性（各态历经的平稳随机过程）一个随机信号X(n)，其均值、方差、均方及自相关函数等，均是建立在集总平均的意义上，如自相关函数是对样本（随机变量）求和，不是对时间（随机信号）13各态遍历性含义对一平稳随机信号X(n)，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶、二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们称X(n)为各态遍历信号。其意义就是，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。也可理解为，用一个样本作出的时间统计特性和用全体样本作出的集总统计特性是相同的；或者说，只要测一次样本就可以代表无限次样本的随机特征了。为了简化问题，很多实际问题中的随机过程都可以近似看成这一类。14各态遍历性随机信号数字特征设x(n)是各态遍历信号X(n)的一个样本函数，对X(n)的数字特征可以重新定义如下：上面两式右边的计算都是使用单一样本函数x(n)来求出和，因此称为“时间平均”。各态遍历信号，其一阶、二阶的集总平均等于相应的时间平均