材料力学课件第10章能量法

第10章能量法第10章能量法

10.1概述

10.2杆件应变能的计算

10.3应变能的一般表达式

10.4互等定理

10.5卡氏定理

10.6虚功原理单位载荷法

10.7莫尔定理

10.8计算莫尔积分的图乘法10.1

概述能量法具有下列优点：

（1）应用简单、方便等。

（2）公式统一，适用于计算机编程计算和分析。

对于复杂的超静定结构，工程上常采用能量原理来进行结构的分析和计算。在弹性变形的过程中，忽略其它形式的能量如动能、热能等的损失，认为外力功W全部转变成应变能V,即

在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。10.2杆件应变能的计算一、轴向拉伸与压缩

轴向力F所做的功为杆件的应变能为若杆件为等截面直杆且轴向力仅作用于杆两端时，有10.2杆件应变能的计算应变能为

若杆件为阶梯杆或有轴向力作用于杆中间部分时，应变能为若杆件为连续变截面杆或轴向力沿轴线分布时，应变能为10.2

杆件应变能的计算二、扭转扭转力偶矩所做的功圆轴在扭转时的应变能为10.2杆件应变能的计算若圆轴为阶梯轴或扭转力偶矩作用于轴中间部分时，应变能为若圆轴为等直圆轴且扭转力偶矩仅作用于轴两端时，应变能为

若圆轴为连续变截面轴或扭转力偶矩沿轴线分布时，应变能为

10.2杆件应变能的计算三、纯弯曲弯曲力偶矩Me所做的功梁的应变能为若梁为等截面梁时，有梁的应变能为10.2杆件应变能的计算dx微段的弯曲应变能为四、横力弯曲整个梁的弯曲应变能为

10.2杆件应变能的计算切应力为故剪切应变能密度为梁的剪切应变能为10.2杆件应变能的计算引入记号

k只与梁的横截面形状有关，称为截面的剪切形状系数。矩形截面，；圆形截面，；薄壁圆环截面k=2。10.2杆件应变能的计算横力弯曲时梁的应变能为弯曲应变能和剪切应变能之和，即对于细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以忽略不计，所以只需计算弯曲应变能。但对于短梁，应考虑剪切应变能。

10.2杆件应变能的计算式中，F为广义力，δ为与广义力对应的广义位移。

功及应变能可统一写成对于非线性弹性问题，应变能的计算公式为10.2杆件应变能的计算例10.1图示悬臂梁承受集中力与集中力偶矩的作用。试计算梁的应变能。设弯曲刚度为常数。xl解：建立图示坐标系，弯矩方程为梁的应变能为10.2杆件应变能的计算当梁上只作用横向力F时，其应变能为当梁上只作用弯曲力偶矩Me时，其应变能为在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。显然10.2杆件应变能的计算例10.2试求图示矩形截面简支梁的弯曲应变能和剪切应变能，并比较之。

解：由于左、右两段对称，所以全梁应变能能等于段的两倍。AC段内的剪力和弯矩分别为梁的弯曲应变能和剪切应变能分别为

10.2杆件应变能的计算对于矩形截面梁，再利用，得取μ=0.3，当h=0.2l时，V2

:V1=0.125；当h=0.1l

时，V2:V1=0.0312；当h=0.05l时，V2:V1=0.0078。对于粗短梁应考虑剪切应变能，对于细长梁可忽略不计剪切应变能。10.3应变能的一般表达式弹性体(线性或非线性)在变形过程中储存应变能的数值，只决定于外力和位移的最终值，而与加载的次序无关。前提：小变形，线弹性各个外力可以表示为kF1、kF2、…、kFn相应的位移可以表示为k1、k2、…、kn10.3应变能的一般表达式外力在此位移增量上做的功分别为

如参数k有一个增量dk，位移的相应增量分别为1dk、2dk、…、ndk弹性体的应变能为线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为克拉贝依隆(Clapeyron)原理。

10.3应变能的一般表达式组合变形在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。微段内的应变能为10.3应变能的一般表达式通过积分，即可求出整个杆件的总应变能上式是针对圆截面杆件。若截面为非圆截面，则将上式中右边第二项中的Ip应改为It。若杆件为细长杆件，上式第四项可以略去。10.3应变能的一般表达式例10.3在刚架ABC自由端C处作用集中力F，如图10.10所示。已知刚架的抗弯刚度EI和抗拉压刚度EA为常量，不计剪力对变形的影响，试求刚架的应变能，并求C点的铅垂位移。解：(1)计算刚架的应变能刚架的应变能由杆件AB和杆件BC应变能组成，即10.3应变能的一般表达式选择如示坐标系，则AB杆的轴力方程和弯矩方程分别为BC杆的轴力方程和弯矩方程分别为刚架的总应变能为

10.3应变能的一般表达式(2)计算C点的铅垂位移根据能量原理，得10.3应变能的一般表达式(3)

讨论C点的铅垂位移由两部分组成：一部分是弯曲引起的位移yC1和轴力引起的位移yC2，它们分别为对于细长杆件，惯性半径i远小于杆件的长度l。通常忽略刚架类结构中轴力和剪力对位移的影响。10.4互等定理一、功的互等定理(1)先加F1再加F2，梁内的应变能(2)先加F2再加F1，梁内的应变能10.4

互等定理上式表明，力F1在由力F2引起的位移12上所作的功等于力F2在由力F1引起的位移21上所作的功。第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上做的功。这就是功的互等定理。10.4互等定理二、位移互等定理在中，令F1＝F2

，则有力F2引起力F1(大小与F2相等)作用点沿F1方向的位移12，等于力F1引起力F2作用点沿单位力F2方向的位移21。这就是位移互等定理。

10.4互等定理例10.4如图a所示连续梁AD。当支座A下沉时，引起D端的挠度为(如图b)。若无支座下沉，当D端向下作用集中力F时(如图c)，求支座Ａ的反力。解:把图b所示受力看作第一组力，把图c所示受力看作第二组力，则第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为零，而第二组力在第一组力引起的位移上做的功为RA+F。故有10.5

卡式定理任一外力Fi有一个增量dFi，则应变能V的相应增量为梁的应变能为当先作用dFi，在作用F1、F2、…、Fi…、Fn弹性体的应变能为10.5卡式定理略去二阶微量，得应变能对任一外力Fi的偏导数，等于Fi作用点Fi方向的位移，这就是卡氏第二定理，通常称为卡氏定理。注:卡氏定理只适用于线弹性结构。

10.5卡式定理

下面把卡氏定理应用于几种特殊情况。梁弯曲桁架杆件受拉压圆轴扭转组合变形10.5卡式定理

例10.5图示外伸梁的抗弯刚度EI已知，求外伸端C的挠度wC和左端截面A的转角θA。解：建立图示坐标系在BC段内在AB段内10.5卡式定理根据卡氏定理，外伸端C的挠度Wc为

10.5卡式定理这里wC和θA皆为正号，表示它们的方向分别与F和MC相同。左端截面A的转角θA为10.5卡式定理例10.6

试求图示平面刚架截面A的转角。EI为已知解：设想在截面A上增加一个力偶矩ma(如图b)，ma称为附加力偶矩。此时，在q和ma共同作用下的支座反力为(a)DBC(b)BCD10.5卡式定理在AB段内

在DA段内在CB段内10.5卡式定理根据卡氏定理，截面的转角为

在上式中令ma=0，就可以求得仅在q作用下截面A的转角为10.6虚功原理单位载荷法

一、虚功原理虚位移虚位移表示是其它因素引起的位移，以区别杆件原有外力引起的位移。(2)虚功杆件上的力在虚位移上做的功称为虚功。虚位移应满足边界条件和连续光滑条件，并符合小变形要求。10.6虚功原理单位载荷法外力在虚位移上做的总虚功为F1，F2，F3，…表示作用于杆件上的广义集中外力。v1*，v2*，v3*，…表示集中外力作用点处沿其方向的虚位移。q(x)，…表示作用于杆件上的广义分布外力。v*(x)，…表示分布外力作用处沿其方向的虚位移。

10.6虚功原理单位载荷法在微段的虚变形过程中，内力做的虚功为d(l)*为微段两端截面的相对轴向位移。d*为微段两端截面的相对转角。d*为微段两端截面的相对错动。dφ*为微段两端截面的相对扭转角。10.6虚功原理单位载荷法总虚功为故有在虚位移中外力做的虚功等于内力在相应虚变形上做的虚功。这就是虚功原理。虚功原理既适用于线弹性材料，也适用于非线性弹性材料。10.6虚功原理单位载荷法例10.7

试求图示桁架各杆的内力。设各杆的横截面面积、材料相同，且是线弹性的。解：由于结构和载荷均对称，A点只有铅垂位移v。由此引起杆1和杆2(杆3)的伸长分别为由物理关系可以求出三杆的内力分别为10.6虚功原理单位载荷法设节点A有一虚位移v。外力在此虚位移上做的虚功为Fv。杆1的内力虚功为

杆2和杆3的内力虚功均为整个杆件的内力虚功为由虚功原理得10.6虚功原理单位载荷法10.6虚功原理单位载荷法二、单位载荷法求刚架A点沿某一方向aa的位移为。把刚架在原有外力作用下的位移(图a)作为虚位移。由虚功原理在单位力作用下，刚架的轴力、弯矩和剪力分别为

10.6虚功原理单位载荷法杆件轴向拉伸或压缩杆件的弯曲杆件扭转10.6虚功原理单位载荷法例10.8图a所示集中力作用于简支梁，梁跨度中点，材料的应力-应变关系为。式中C为常量，σ和ε皆取绝对值。求集中力F作用点D的铅垂位移。解：弯曲变形时，梁内离中性层为y处的应变为由应力-应变关系得10.6虚功原理单位载荷法引入记号横截面上弯矩为式中

10.6虚功原理单位载荷法故有在D点作用铅垂向下的单位力(图b)，其弯矩为D的铅垂位移为10.7莫尔定理若材料是线弹性的，则杆件的弯曲、拉伸(或压缩)和扭转变形分别为单位载荷法相应的位移计算公式可以写为弯曲扭转桁架10.7莫尔定理对于组合变形：用上面公式求解位移的方法称为莫尔积分法或称为莫尔定理。若求结构上两点的相对线位移，则在这两点上沿它们的连线作用一对方向相反的单位力，然后利用莫尔定理计算，就可以求得相对位移。若求结构上两截面的相对转角，则在这两个截面上作用一对方向相反的单位力偶矩，然后利用莫尔定理计算，就可以求得相对转角。10.7莫尔定理例10.9图a所示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移yA及截面B的转角θB。解：(1)计算A点的垂直位移yA取坐标如图所示，在A点作用铅垂向下的单位力(图b)。则有10.7莫尔定理

10.7莫尔定理如考虑轴力对点位移的影响，在上式中应再增加一项为了便于比较，设a=l

，则A点因弯矩引起的垂直位移为对于细长杆件，这个比值是一个很小的数值，例如当截面是边长为b的正方形，且l=10b时，以上比值变为yA1和yA之比是10.7莫尔定理(2)计算截面B的转角θB显然，和yA比较，yA1可以省略。式中负号表示θB的方向与所加单位力偶矩的方向相反。在截面B上作用一个单位力偶矩(图c)，则有对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分在和两个函数中，只要有一个是线性的，以上积分就可简化。在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分10.8计算莫尔积分图乘法10.8计算莫尔积分图乘法其中：代表图的面积，xC

代表图中形心C的横坐标。图示为某直杆AB的图和图。所以所以10.8计算莫尔积分图乘法右图中给出了几种常用图形的面积ω及其形心位置的计算公式。其中抛物线顶点的切线与基线平行或与基线重合。

10.8计算莫尔积分图乘法(2)M图和图位于同侧时,为正，反之,为负；注意：(1)图乘法仅适用于等直截面杆；(3)当M图或由几段线段组成，则应以其转折点为界，把弯矩图分成几段逐段使用图乘法，然后求其代数和；(4)当杆件上M图比较复杂，不方便应用图乘法时，