川大自动控制原理第十章

第十章非线性控制系统自动控制原理本章主要内容非线性控制系统概述相平面法非线性系统的相平面分析描述函数法非线性系统的描述函数分析了解熟悉掌握1.非线性系统的基本概念不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统；非线性是宇宙间的普遍现象，实际系统都是非线性系统，线性系统只是在特定条件下的近似描述；系统的非线性程度比较严重，无法近似为线性系统时，只能用非线性系统的方法进行分析和设计；非线性系统的运动形式多样，种类繁多；有两种常见情况:①系统中存在非线性元件；②为了某种控制目的，人为引进的非线性。10.1非线性控制系统概述液位系统中，H为液位高度，Qi

为液体输入流量，Qo为液体输出流量，C为储液罐的截面积。

根据水力学原理知

系统的输入输出动态方程为属于非线性微分方程。k

是取决于液体粘度的系数非线性系统的简单例子（见第二章）非线性特性中，死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性是最常见的，也是最简单的。其中和为非线性函数。一个单输入单输出非线性特性的数学描述为2.非线性系统的一般数学模型3.常见的典型非线性特性

x

z(1)死区特性（不灵敏区特性）特征：当输入信号较小时，系统没有输出;当输入信号大于某一数值时才有输出。测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。对系统性能的主要影响：①使稳态误差增大；②产生时间滞后；③优点是能滤去小幅值的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。对液位误差设置死区，可防止执行机构频繁动作，减少对执行机构的磨损，还可消除小幅度检测噪声的影响。液位系统调节阀控制器检测误差输入流量液位利用死区特性的应用例

——液位控制系统特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。

x

z放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。(2)饱和特性主要影响：在大信号作用下，放大倍数减小稳态精度↓，快速性↓，但相对稳定性↑。（分析例见p56）当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时（输入饱和），水位就会下降，出水流量也随之减小，达到平衡时水位会低于设定值。饱和特性导致稳态误差的例子

——水箱水位控制系统+-PID控制器y出水阀门开度u误差e进水水箱电机系统在重载情况下，输入电压饱和，转速会低于设定值（转速↓使电流↑、转矩↑）。电机

系统功率

放大器PID转速

调节器转速检测误差输入电压转速饱和特性导致稳态误差的例子

——电机调速系统如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。(3)间隙（或滞环、回环）特性影响：通常会使系统的输出在相位上产生滞后，导致稳定裕量减小、动态性能恶化，甚至产生自持振荡。理想继电器

具有死区的继电器

y(t)

x(t)

y

x

y

x(4)继电器特性例：开关型控制的电冰箱、电熨斗等

y

x具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器

x

yy(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)典型非线性环节的正弦响应4.非线性系统的特点不适用叠加原理（与线性系统的本质区别），没有一种通用方法来处理各种非线性问题稳定性等性能分析复杂而困难

稳定性等不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。线性系统：只有一个平衡状态非线性系统：可能有多个平衡状态例：线性系统的稳定性和平衡点无论初始状态为何值，都有

，系统稳定，只有一个平衡状态。tx(t)例：非线性一阶系统设系统的初始状态为x0，则解为令，可知该系统存在两个平衡状态①②x(t)如①、②平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。自持振荡：指没有外界周期变化信号作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动，但其振幅并不固定，取决于初始状态，所以不是自持振荡（参见p30）。可能存在自持振荡（极限环）现象在正弦输入下，线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号；而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。频率响应发生畸变

非线性系统分析的重点：某一平衡点是否稳定，如果不稳定或性能不好应如何校正；系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅；如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。5.非线性系统的分析与设计方法非线性系统的基本研究方法：小范围线性近似法逐段线性近似法相平面法（时域法，重点）图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。

描述函数法（频域法：只保留基波，近似为线性）适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。

李雅普诺夫法（构造正定能量函数，使其导数负定）计算机仿真法10.2相平面法相平面法的基本概念相轨迹的绘制由相轨迹图求时间及时间响应奇点与极限环的类型非线性控制系统的相平面分析相平面：由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。一、相平面法的基本概念针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统（也可用于线性）:相轨迹图：相平面+相轨迹簇相轨迹：系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点（

）出发，随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。例:单位反馈系统属于绘制相轨迹图的解析法之一考虑非线性系统方程：(1)相轨迹的斜率斜率表示相轨迹通过该点的运动方向相轨迹的基本特征任一普通点有且只有一条相轨迹通过。

（∵其斜率唯一确定）(2)相轨迹的普通点(3)相轨迹的奇点(平衡点)相轨迹上斜率不确定的点满足奇点一定在x轴上通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至有无穷多

条；线性定常系统通常只有一个奇点（原点或x轴上

的其他点），而非线性系统则可能有多个奇点；当奇点连续时就构成奇线。有奇线的系统举例对应奇点奇点以外(4)相轨迹的运动方向上半平面:

向右移动下半平面:

向左移动按顺时针运动(5)相轨迹通过横轴的方向相轨迹以90°穿越x轴横轴上的普通点(6)相轨迹的对称性1.解析法二、相轨迹的绘制若该式可以分解为两端积分可解出和的关系式，（，）为初始点。1.解析法2.等倾线法3.圆弧法4.计算机绘制法例:考虑二阶系统(1)

导出相轨迹方程(2)两边积分得（线性系统，极点为）振幅不固定，不是自持振荡对称性?2.等倾线法先确定相轨迹的等倾线（等斜率线），进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场绘制相轨迹。绘制步骤：（1）导出等倾线方程表示相平面上的一条曲线（等倾线），相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等。。

相轨迹的切线斜率等倾线法（2）α取不同值时，画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示斜率为α的小线段，构成相轨迹的切线方向场（3）从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确，但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。等倾线为直线的示意图例：绘制下列二阶系统的相轨迹奇点为（0，0）解：等倾线方程为（线性系统，极点为）对称性?可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，说明系统衰减振荡所有的相轨迹都最终收敛到奇点，系统渐近稳定解：例：绘制下列二阶系统的相轨迹（1）导出等倾线方程容易求出奇点为（0，0）。（线性系统，极点为-1，-2）对称性?α0-1-5-3∞1-2β-0.67-11∞0-0.5-2列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率α的关系：两条特殊的等倾线：两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点，

其中一条是相轨迹的渐近线（说明见后）。说明1：两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点注：复数极点时不存在这样的等倾线（∵α为实数）说明2：一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线思路：分析β=－1、－2周围等倾线上相轨迹斜率α的变化情况，见下页图。特殊等倾线为相轨迹渐近线的示意图（1）（2）（3）斜率为-1的等倾线，其周围的相轨迹都趋向它，所以是渐进线；而斜率为-2的等倾线，其周围的相轨迹都离开它，所以不是渐进线。所有的相轨迹都最终收敛到奇点,说明系统渐近稳定；相轨迹都趋向于特殊的等倾线，说明系统响应为非振荡衰减形式。因为，设点的对应时间为，点的对应时间为，则将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得t

。三、由相轨迹图求时间及时间响应（1）积分法连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线或。特点：基于准确的时间算式，但难以精确计算面积。相轨迹A-B段的平均速度：相轨迹A-B段所用的时间：（2）增量法连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线或。特点：基于近似的时间算式，但计算容易。近似式例:单位反馈系统四、奇点与极限环的类型1.线性系统的奇点类型奇点为（0,0），根据特征根在S平面上的分布，相轨迹有不同的形态。极点分布与奇点的类型极点分布奇点相轨迹图中心点稳定

焦点稳定

节点鞍点极点分布奇点相迹图不稳定焦点不稳定节点2.非线性系统的奇点类型分析思路与方法：将非线性系统在奇点处线性化，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。非线性系统在奇点处的线性化：（按泰勒级数展开）忽略高次项例：已知非线性系统的微分方程为

试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。则求得系统的两个奇点解：系统相轨迹微分方程为令特征根为，故奇点(0,0)为稳定焦点。在奇点（0，0）处

∴线性化方程为在奇点（-2，0）处

∴线性化方程为－故奇点（-2，0）为鞍点。非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。

特征根为运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。3.极限环及其分类非线性系统的运动除了发散和收敛外，还有一种运动模式—自持振荡，自持振荡在相平面上表现为一个孤立的封闭轨迹线—极限环。以范德波尔（vander

pol）方程为例，说明极限环的稳定性：注：线性系统不会产生极限环，参见p30例。极限环的3种类型c)半稳定极限环d)半稳定极限环a)稳定的极限环b)不稳定的极限环五、非线性控制系统的相平面分析具有饱和特性的非线性反馈系统滞环继电型非线性反馈系统步骤：将典型非线性特性用分段的线性特性来表示。在相平面上选择合适的坐标，常用误差及其导数。根据分段的线性特性将相平面分成若干区域，在每个区域内都呈线性特性。确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。在各个区域内分别画出各自的相轨迹。最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。如何利用线性系统的相轨迹

绘制简单非线性系统的相轨迹？1.具有饱和特性的非线性系统-CA(R,0)BDⅠeⅢⅡob-bⅠ区Ⅱ区Ⅲ区在Ⅰ区，奇点为原点，是稳定节点或焦点，相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点（见前面例）。在Ⅱ、Ⅲ区，都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。

注1注2注1：关于渐近线的说明在Ⅲ区，说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。Ⅱ区亦如此。ⅠeⅢⅡob-b返回注2：关于ė(0)=0的说明初值不为零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2时-返回Ⅰ区奇点为稳定节点的相轨迹A(R,0)ⅠeⅢⅡob-b渐近线容易证明：设渐近线斜率为-a，则一定有KM<abSimulink仿真结构图情况①的相轨迹R=1R=2R=5情况①的仿真结果R=2时的uR=1时的yR=5时的yR=1时的uR=5时的uR=2时的y情况②的相轨迹R=0.7R=0.5R=1斜率为-0.5的渐近线情况②的仿真结果R=0.5时的uR=0.7时的yR=1时的y