ch2-3系统传递函数

第2章序列的傅立叶变换与Z变换（34）

2.1序列的傅里叶变换（9）2.2傅里叶变换的对称性质（2）2.3序列的Z变换（3）2.4Z反变换（3）2.5Z变换的基本性质和定理8-12（12）2.6序列的Z变换与连续信号的拉氏变换及傅里叶变换的关系（2）2.7系统离散的频率特性（3）二利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.18)1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.18)式求Z变换，得到式中(2.5.19)(2.5.20)2.6.1拉氏变换与Z变换

Z变换的定义：为了研究拉氏变换和Z变换之间的关系，我们对采样信号进行双边拉氏变换：实际上，序列x(n)的值就等于采样点的值，即，而这是由复变量s平面到复变量z平面的映射，这个映射关系极坐标形式直角坐标形式所以有T：采样周期；：s平面的频率；：z平面上的频率。

s平面的虚轴z平面的单位圆s平面上沿虚轴每增加一个z平面上沿单位圆旋转一周

这相当于将s平面“裁”成一条条宽为的横带，重叠地映射到z平面，如图所示。可以把z平面想象为以原点为中心的无穷重叠在一起的螺旋面，即无穷黎曼平面。s平面z域黎曼面

当我们沿着s平面虚轴j“移动”时，这一“移动”映射到z域的黎曼面上，则是随着幅角的增加，由一层螺旋面旋转到另一层螺旋面。再回到对采样信号进行双边拉氏变换：

采样序列在单位圆上的z变换就等于其理想采样信号的傅氏变换（即其频谱）。考虑到数字域频率与模拟域频率的关系=T，则可见单位圆上的z变换有其重要的意义，正如傅氏变换给出了信号的谱一样，单位圆上的z变换也给出了采样序列的频响。这里定义单位圆上的z变换为“序列的傅氏变换”

最后，我们总结一下拉氏变换、傅氏变换、z变换和序列的傅氏变换之间的关系：序列的傅氏变换是单位圆上的z变换，所以是z变换的特殊形式；z变换可以看作是序列傅氏变换的推广。（z=ej

）采样序列的傅氏变换是原信号傅氏变换谱的周期延拓，在满足奈奎斯特定理时，两者相同（仅有常数之差）。采样序列的z变换是采样信号的拉氏变换从s平面到z平面的映射2.7Z域中对系统的描述2.7.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)(2.7.1)

一般称H(ejω)为系统的频率响应，它表征系统的频率特性。

对h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.7.2)

如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：(2.7.3)因此，有四种表示离散系统特性的方法:1、差分方程

2、脉冲响应

3、频率响应

4、系统函数他们之间的转换关系明显。2.7.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞，0<r<1

例2.7.1已知分析其因果性和稳定性.

解：H(z)的极点为z=a，z=a-1(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。

(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。(3)收敛域a<|z|<a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。2.7.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性（由零极点确定滤波器的形状）由滤波器的H(z)z在单位圆上取值，即可得滤波器的频率响应。而根据滤波器的零极点位置得到滤波器的特性曲线是一种更直观的方法，特别适合低阶滤波器。例：

例2.7.3设一阶系统的差分方程为

y(n)=by(n-1)+x(n)

用几何法分析其幅度特性。解：由系统差分方程得到系统函数为

系统极点z=b，零点z=0当B点从ω=0逆时旋转时，在ω=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在ω=π时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.7.4所示。

图2.7.4例2.7.3插图作业：比较下列滤波器的形状：Piz示例

Pez31---matlab示例1、单位圆内实轴上的单极点2、对偶极点3、比较同一数字频率下的极点位置变换2.7.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性

将系统函数因式分解，得到(2.7.4)

式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点d

的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。将(2.7.4)式分子分母同乘以zN-M，得到设系统稳定，将z=ejω，得到传输函数(2.7.5)(2.7.6)设N=M，(2.7.7)

和分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表将和表示式代入(2.7.7)式，得到(2.7.8)(2.7.9)

根据滤波器零极点位置得到滤波器的频率响应特性曲线，是一种直观的方法，但只比较适合低阶滤波器。对于高阶系统，由H（z）z在单位圆上取值，再将从0-2π取值求幅度和相位谱更简洁方便。

系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.7.8)式和(2.7.9)式确定。当频率ω从0变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.7.8)式(2.7.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图2.7.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。

例2.7.2已知H(z)=z-1，分析其频率特性解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(ejω)|=1,

相位特性φ(ω)=-ω，频响如图2.7.3所示。用几何方法也容易确定，当ω=0转到ω=2π时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。图2.7.3H(z)=z-1的频响极零点分布分析系统的频率特性MATLAB演示541.m例：H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3TheRootsare:z1=1z2=1ejπ/3z3=1e-jπ/3这些零点都在单位圆上，所以频率0，π/3和-π/3的复正弦信号通过系统后，输出为0。试通过下述输入信号进行验证：1、x1=12、x2=ejπn/33、x3=e-jπn/3H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3因此，H（z）的零点在单位圆上，对于相应的正弦输入信号，通过滤波器后将被消除。在雷达或通信系统中常要这样的滤波器来消除特定的干扰信号，同样对来至电网的50Hz或60Hz干扰也适用。如果我们要消除一个正弦或余弦信号：

x（n）=cos（ωn）=(ejωn+e-jωn)/2需要采用一个二阶滤波器，零点为z1=ejω,z2=e–jω因此，二阶滤波器为：H（z）=(1-z1z-1)(1-z2z-1)=1-(z1+z2)z-1+(z1z2)z-2=1-2cos(ω)z-1+z-2例，要消除ω=π/4的余弦分量----cos(0.25πn)

Piz示例

Pez31---matlab示例两个z=0的极点，一对单位圆上的零点模拟频率f和数字频率ω数字滤波器的形状设计可以不依赖采样频率，但采样频率将影响滤波器的带宽。“基础”P193例7.18-7.20这三个例子都说明了：

采样频率对滤波器性能（带宽）的影响。

例2.7.4已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。解：零点：

H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.7.5所示。当ω从零变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般将具有如图2.7.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。图2.7.5梳状滤波器的极零点分布及幅度特性例2.7.5利用几何法分析矩形序列的幅频特性。解：零点：极点：

设N=8，z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图2.7.6所示。阶零点图2.7.6N=8矩形序列极零点分布及幅度特性低通滤波器由于零点并不能完全组合成复数共轭对，该滤波器系数将是复数。这对滤波器实现不利。对带通滤波器的设计思路：在单位圆上设定零点的方法来控制滤波器频率响应。若将零极点抵消位置移至某一频率，则可获相应BPF。实系数带通滤波器带通滤波器MATLABIMPLEMENTATIONEXAMPLE1Givenacausalsystema.FindH(z)andsketchitspole-zeroplot.b.Plotc.Determinetheimpulseresponseh(n).y(n)=0.9y(n-1)+x(n)Solution:a.FromWewilluseMatlabtoillustratetheuseofthezplanefunction:>>b=1;>>a=[1,-0.9];>>zplane(b,a);y(n)=0.9y(n-1)+x(n)MATLABIMPLEMENTATIONb.Matlabprovidesafunctioncalledfreqz,thesimplestformofthisfunctionisinvokedby:[H,w]=freqz(b,a,N)whichreturnstheN-pointfrequencyvectorwandtheN-pointcomplexfrequencyresponsevectorHofthesystem,givenitsnumeratoranddenominatorcoefficientsinvectorsbanda.ThefrequencyresponseisevaluatedatNpointsequallyspacedaroundtheupperhalfoftheunitcircle.(0toπ)Letustake100pointsalongtheupperhalfoftheunitcircle:%z-平面函数:%a)&b)b=1;a=[1,-0.9];zplane(b,a);title('极点-零点图');text(0.85,-0.1,'0.9');text(0.01,-0.1,'0');pause,%b)[H,w]=freqz(b,a,100);magH=abs(H);phaH=angle(H);subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);gridxlabel('');ylabel('