《模态分析与综合技术》03模态分析与综合-01摸态分析

第3章模态分析3.1引言单自由度系统的振动分析是多自由度系统（具有有限个自由度（广义坐标）的振动系统）振动分析的基础，在单自由度系统振动分析中已经形成的一些重要基本概念和分析结果，只需稍加引申即可适用于多自由度系统。多自由度线性系统振动分析中唯一新增重要基本概念是模态。单自由度系统与多自由度系统总称为集中参数系统（离散系统）。一般来说，一个n自由度系统，其运动规律可由n个二阶常微分方程来确定。第3章模态分析3.1引言大多数工程振动系统都可简化多自由系统来研究。即使是弹性体系统（连续系统或分布参数系统），经过离散化后，也可以转变为多自由度系统。所以，多自由度系统振动理论是解决工程振动问题的基础。在振动分析中，随着系统自由度数的增大，计算工作量成指数增长。

矩阵既可以为多变量问题提供简洁而又物理概念清晰的表示方式，同时又可以为解题提供系统而又规则的算法。所以矩阵是分析多自由度系统振动问题的有力工具。第3章模态分析3.1引言本章所考察的振动系统限于常参数线性系统（叠加原理）。同样还是基于叠加原理，一个多自由度系统的运动可以通过所谓模态变换，分解为若干个独立的模态运动，其中每个模态运动相当于一个单自由度系统。因此，可以非常方便地分别求出各个模态运动，再叠加后得到系统总的运动。这就是系统动力响应分析中的模态分析法。第3章模态分析3.2实模态分析

1无阻尼情形设一n自由度线性振动系统，其运动微分方程为：式中x是位移列阵；M与K分别为系统的质量与刚度矩阵（实对称），f(t)是激励列阵。其自由振动微分方程可表示为：设其解为：第3章模态分析3.2实模态分析将上式代入自由振动微分方程，可得：这一方程具有非零解的条件是：称为系统的特征方程。1无阻尼情形第3章模态分析3.2实模态分析由特征方程可解得n个不等正实根wi,wi称为系统的固有频率。将各个不同的wi分别代入可得下列主振型方程：由此，可确定n个实矢量Xi，称为系统的主振型。（多自由度各点的运动既是时间的函数，又是空间的函数）1无阻尼情形第3章模态分析3.2实模态分析由下式表示的运动称为系统的主振动。可见，无阻尼线性系统的主振动都是谐振动。每个主振动有其固有的频率。在每个主振动中，各个位移分量振幅的相对大小与相位由主振型确定。无阻尼线性系统的特征值和特征矢量都是实矢量，故称实模态。1无阻尼情形第3章模态分析3.2实模态分析主振型的一个重要性质是正交性。这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩阵的加权正交性，即当i不等于j时下面给出简单证明，由1无阻尼情形有第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形将(a)式转置后再右乘以Xj，对第二式左乘XjT,得然后两式相减，得第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形然后两式相减，得由于所以主振型的正交性得证。第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形当i=j时mi称为模态质量，ki称为模态刚度。则有：证明非常简单。由第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形引入实模态矩阵A:则上述结果可综合成矩阵形式：下面介绍对上述振动系统分析的模态分析法。第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形引入如下实模态变换：将上述实模态变换代入系统振动方程，再左乘以AT：由上述正交性第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形可得：于是，上式可写成n个标量形式：可见，系统已经完全解耦了。各个yi称为模态坐标（模态响应）。再由第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形再由可得系统的物理坐标响应x，模态响应y的线性变换。综上所述，一个n自由度的无阻尼线性系统的振动分析问题，可以通过实模态变换，可以转化为n个独立谐振子的模态响应问题，在求得各个模态响应后，再通过线性变换，就可得到原系统的响应。这就是模态分析法的精髓所在。第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形

例1对于如图所示的两自由度系统中，设m=1kg,k=100N/m。试求系统的固有频率与主振型。mkkm4kx1x2第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形

解：系统的自由振动微分方程为mkkm4kx1x2系统的特征方程为：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形系统的特征方程为：即：可得：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形由系统的主振型方程：得系统归一化主振型：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形主振型示意图：X1X2第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形主振动分别为：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形

例2对于上例所示的两自由度系统，设初始条件为：mkkm4kx1x2试求系统自由振动。第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形解：由上例结果，系统的实模态矩阵为：系统初始条件转化为：引入实模态变换：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形系统的方程可化为已解耦的模态运动微分方程：对应于上述初始条件系统的模态响应可求得为：第3章模态分析3.2实模态分析1无阻尼情形对应于上述初始条件系统的模态响应可求得为：因此，系统的自由振动可表示为：第3章模态分析3.2实模态分析

2经典阻尼情形设一n自由度线性阻尼振动系统，其运动微分方程为：与无阻尼振动方程相比，只是增加了一个线性阻尼项，能否利用上述实模态变换来使系统解耦，关键在于阻尼矩阵C在上述实模态变换下能否解耦（化为对角阵）。即：第3章模态分析3.2实模态分析满足上式上式或其等价条件的阻尼称为经典阻尼，文献中经常提到的所谓比例阻尼（经典阻尼的一种特例）定义为：2经典阻尼情形可以证明：阻尼矩阵可以借实模态变换转化为对角阵的充要条件为：与之等价的条件为第3章模态分析3.2实模态分析2经典阻尼情形总而言之，凡是无阻尼的或具有经典阻尼的n自由度线性系统总可以通过实模态分析，将系统的响应问题化为n个独立的1自由度系统的模态响应问题，从而完成其振动分析。第3章模态分析3.3复模态分析1对称系统

现在来考察非经典阻尼情形。一般n自由度线性阻尼振动系统，其运动微分方程为：假设式中M、K与C分别为实对称阵，C不满足可对角化条件。得系统的特征方程为：设其解为：第3章模态分析3.3复模态分析由上述特征方程可以确定2n个特征值wi,i=1,…,2n。和无阻尼情形不同，这时的wi可以是实的，也可以是复的。当阻尼矩阵正定时，所有特征值都具有负实部，对应于系统衰减的固有振动。当阻尼属于亚临界阻尼情形时，所有特征值都是复的且共扼。而每一对共扼复特征值对应于系统中一个具有特定频率与衰减率的固有振动。对应于任一个wi，与之相对应的复特征矢量为ui，称为复模态或复主振型（各点相位的差异）

。第3章模态分析3.3复模态分析由系统2n个复特征矢量，可构成一个nX2n阶复模态矩阵u。可是我们不能用它直接对系统进行解耦，因为对于，不存在像实模态矩阵那样的正交性。为了解决此问题，引入以下方法——状态空间法。引入状态变量：第3章模态分析3.3复模态分析上面的振动微分方程和等式方程可以表示为：其中：第3章模态分析3.3复模态分析根据质量、刚度和阻尼矩阵对称性假设，不难看出m、k也是对称阵。自由运动时，有上述方程与前面方程描述的是同一系统的自由运动，所以它们应有相同的特征值和相当的特征矢量，即其特征矢量为第3章模态分析3.3复模态分析可以证明上面的特征矢量具有关于m与k的加权正交性。即当时有第3章模态分析3.3复模态分析当时有由2n个Yi,可以构成系统的2nX2n阶复模态矩阵A:第3章模态分析3.3复模态分析根据上述复特征矢量的正交性，借助于如下复模态变换：可以对系统状态方程进行解耦，将上式代入状态方程，再前乘以AT有：即，有第3章模态分析3.3复模态分析这样借助引入状态变量以及复模态变换，系统最终可转化为2n个已解耦的一阶复模态响应方程。第3章模态分析3.3复模态分析2非对称系统

现在来考察系统的质量、阻尼与刚度矩阵不是对称阵的情形。如流固耦合问题，有陀螺效应的振动系统。由于系统不对称，原系统及其转置系统不再等同，两者对应的复模态也有所不同，故需对模态矩阵与模态变换作适当补充与修改，但上节介绍的复模态分析原理仍然适用。第3章模态分析3.3复模态分析系统运动微分方程同上：只是式中M、K与C不再是对称阵，设相应的状态方程为：由其特征方程确定的复特征矢量Ui称为系统的右特征矢量。相应地由各个Ui组成的矩阵称为系统的右模态矩阵。第3章模态分析3.3复模态分析由其特征方程确定的复特征矢量Vi称为系统的左特征矢量。相应地由各个Vi组成的矩阵称为系统的左模态矩阵。