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文档简介

直接证明与间接证明一、基础知识1.直接证明(1)综合法①定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.综合法证明题的一般规律(1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.②框图表示: P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→⋯―→Qn?Q(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等, Q表示所要证明的结论 ).③思维过程:由因导果.(2)分析法①定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止,这种证明方法叫做分析法.分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、 直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、 具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.②框图表示:Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→⋯―→得到一个明显(其中Q表示要证成立的条件明的结论).③思维过程:执果索因.2.间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立 ),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.考点一综合法的应用[典例]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤1;3222a+b+c≥1.(2)bca[证明](1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.当且仅当“a=b=c”时等号成立;222a+b≥2a,b+c≥2b,c+a≥2c,(2)因为bca当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立,故a2+b2+c2+(a+b+c)≥2(a+b+c),bca即a2+b2+c2≥a+b+c.bca所以a2+b2+c2≥1.bca[变透练清]1.变结论若本例条件不变,证明2221a+b+c≥.3证明:因为a+b+c=1,2 2 2 2所以1=(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac,所以2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),所以2222221≤a+b+c+2(a+b+c),2221即a+b+c≥.32.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;2π(2)若C=3,求证:5a=3b.证明:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有 a+c=2b,即a,b,c成等差数列.2π(2)由C=3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以5a=3b.考点二 分析法的应用[典例] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:1+1=3.a+bb+ca+b+c[证明]1+1=3,要证a+bb+ca+b+c即证a+b+c+a+b+c=3,也就是c+a=1,a+bb+ca+bb+c只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.[解题技法] 利用分析法证明问题的思路及格式(1)分析法的证明思路先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.(2)分析法的格式通常采用“要证(欲证)⋯⋯”“只需证⋯⋯”“即证⋯⋯”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.[对点训练]已知m>0,a,b∈R,求证:a+mb2a2+mb2≤1+m.1+m证明:因为m>0,所以1+m>0.所以要证a+mb2≤a2+mb21+m,1+m只需证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0显然成立,2故a+mb2≤a+mb.1+m1+m考点三反证法的应用[典例]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)0,且0<x<c时,f(x)>0.1(1)证明:a是函数f(x)的一个零点;1(2)试用反证法证明 a>c.[证明](1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=c,a11所以x2=aa≠c,1所以是函数f(x)的一个零点.1(2)因为函数有两个不同零点,所以 a≠c.假设1<c,又1>0,a由0<x<c时,f(x)>0,知f1>0,与f1=0矛盾,a a1所以<c不成立,又因为1≠c,所以1>c.aa[对点训练]1设a>0,b>0,且a+b=a+b.证明:(1)a+b≥2;22+b<2不可能同时成立.(2)a+a<2与b1 1 a+b证明:由a+b=+= ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2.2 2(2)假设a+a<2与b+b<2同时成立,同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.[课时跟踪检测 ]A级1.用反证法证明命题“设 a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实数根”时,假设为

(

)A.方程x3+ax+b=0没有实数根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实数根33解析:选A “至少有一个实数根 ”的否定是“一个实数根也没有根”.2.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定

”,即“没有实数解析:选C 由sinAsinC<cosAcosC,得cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,π从而B>2,故△ABC必是钝角三角形.3.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明1+x<1+x时,索的因是()2A.x2>2B.x2>422C.x>0D.x>1解析:选C因为x>0,所以要证 1+x<1+x2,1+x2只需证(1+x)2<2,即证0<x,24即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0解析:选C由题意知b2-ac<3a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.选C.5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析:选A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0.6.(2019·太原模拟)用反证法证明“若 x2-1=0,则 x=-1或x=1”时,应假设____________________.解析:“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.答案:x≠-1且x≠17.设a>b>0,m= a- b,n= a-b,则m,n的大小关系是________.解析:(分析法) a- b< a-b? a< b+ a-b?a<b+2 b·a-b+a-b?b·a-b>0,显然成立.答案:m<n8.若二次函数22在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+10,则实数p的取值范围是________.解析:(补集法)f-1=-22p+p+1≤0,解得p≤-3或p≥3,令2f1=-2p-3p+9≤0,23故满足条件的p的取值范围为-3,2.答案:-3,329.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:1-11-11-1>8.xyz证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以1-1=1-x=y+z2yz,xxx>x1-yx+z2xzy-1=y=y>y,1-zx+y2xyz-1=z=z>z,又x,y,z为正数,由① ×②×③,

①②③得1x-1 1y-11z-1>8.23n-n *10.已知数列{an}的前n项和Sn= ,n∈N.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.3n2-n解:(1)由Sn= ,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当n=1时也适合.所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2.(2)证明:要使得 a1,an,am成等比数列,只需要a2n=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且m>n.所以对任意的 n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.B级1.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点 C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.证明:(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.因为AD⊥DE,CC1∩DE=E,CC1?平面BCC1B1,DE?平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以 A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1∩B1C1=C1,CC1?平面BCC1B1,B1C1?平面BCC1B1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.12.设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=x,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;1(2)讨论g(x)与gx的大小关系;1(3)是否存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<x对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.1解:(1)由题设易知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+,x-1∴g′(x)= x2,令g′(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调递减区间,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间,因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.1(2)gx=-lnx+x,设h(x)=g(x)-g1=2lnx-x+1,x xx-12则h

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