直接证明与间接证明

直接证明与间接证明一、基础知识1．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法证明题的一般规律(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．②框图表示： P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→⋯―→Qn?Q(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q表示所要证明的结论 )．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析法．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、 直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、 具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．②框图表示：Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→⋯―→得到一个明显(其中Q表示要证成立的条件明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．考点一综合法的应用[典例]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤1；3222a＋b＋c≥1.(2)bca[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.当且仅当“a＝b＝c”时等号成立；222a＋b≥2a，b＋c≥2b，c＋a≥2c，(2)因为bca当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，故a2＋b2＋c2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，bca即a2＋b2＋c2≥a＋b＋c.bca所以a2＋b2＋c2≥1.bca[变透练清]1.变结论若本例条件不变，证明2221a＋b＋c≥.3证明：因为a＋b＋c＝1，2 2 2 2所以1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以2222221≤a＋b＋c＋2(a＋b＋c)，2221即a＋b＋c≥.32．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；2π(2)若C＝3，求证：5a＝3b.证明：(1)由已知得 sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有 a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．2π(2)由C＝3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.考点二 分析法的应用[典例] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1＋1＝3.a＋bb＋ca＋b＋c[证明]1＋1＝3，要证a＋bb＋ca＋b＋c即证a＋b＋c＋a＋b＋c＝3，也就是c＋a＝1，a＋bb＋ca＋bb＋c只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[解题技法] 利用分析法证明问题的思路及格式(1)分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．(2)分析法的格式通常采用“要证(欲证)⋯⋯”“只需证⋯⋯”“即证⋯⋯”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．[对点训练]已知m＞0，a，b∈R，求证：a＋mb2a2＋mb2≤1＋m.1＋m证明：因为m＞0，所以1＋m＞0.所以要证a＋mb2≤a2＋mb21＋m，1＋m只需证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，2故a＋mb2≤a＋mb.1＋m1＋m考点三反证法的应用[典例]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：a是函数f(x)的一个零点；1(2)试用反证法证明 a＞c.[证明](1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，因为f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝c，a11所以x2＝aa≠c，1所以是函数f(x)的一个零点．1(2)因为函数有两个不同零点，所以 a≠c.假设1＜c，又1＞0，a由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f1＞0，与f1＝0矛盾，a a1所以＜c不成立，又因为1≠c，所以1>c.aa[对点训练]1设a＞0，b＞0，且a＋b＝a＋b.证明：(1)a＋b≥2；22＋b＜2不可能同时成立．(2)a＋a＜2与b1 1 a＋b证明：由a＋b＝＋＝ ，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及 ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.2 2(2)假设a＋a＜2与b＋b＜2同时成立，同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．[课时跟踪检测 ]A级1．用反证法证明命题“设 a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实数根”时，假设为

(

)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实数根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数根33解析：选A “至少有一个实数根 ”的否定是“一个实数根也没有根”．2．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定

”，即“没有实数解析：选C 由sinAsinC<cosAcosC，得cosAcosC－sinAsinC>0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，π从而B>2，故△ABC必是钝角三角形．3．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明1＋x<1＋x时，索的因是()2A．x2>2B．x2>422C．x>0D．x>1解析：选C因为x>0，所以要证 1＋x<1＋x2，1＋x2只需证(1＋x)2<2，即证0<x，24即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：选C由题意知b2－ac＜3a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0.选C.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.6．(2019·太原模拟)用反证法证明“若 x2－1＝0，则 x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠17．设a＞b＞0，m＝ a－ b，n＝ a－b，则m，n的大小关系是________．解析：(分析法) a－ b＜ a－b? a＜ b＋ a－b?a＜b＋2 b·a－b＋a－b?b·a－b＞0，显然成立．答案：m＜n8．若二次函数22在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋10，则实数p的取值范围是________．解析：(补集法)f－1＝－22p＋p＋1≤0，解得p≤－3或p≥3，令2f1＝－2p－3p＋9≤0，23故满足条件的p的取值范围为－3，2.答案：－3，329．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：1－11－11－1>8.xyz证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以1－1＝1－x＝y＋z2yz，xxx>x1－yx＋z2xzy－1＝y＝y>y，1－zx＋y2xyz－1＝z＝z>z，又x，y，z为正数，由① ×②×③，

①②③得1x－1 1y－11z－1>8.23n－n *10．已知数列{an}的前n项和Sn＝ ，n∈N.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的 n>1，都存在 m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．3n2－n解：(1)由Sn＝ ，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2.(2)证明：要使得 a1，an，am成等比数列，只需要a2n＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的 n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．B级1.如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点 C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DE，CC1∩DE＝E，CC1?平面BCC1B1，DE?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以 A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1∩B1C1＝C1，CC1?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.12．设函数 f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；1(2)讨论g(x)与gx的大小关系；1(3)是否存在 x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜x对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．1解：(1)由题设易知 f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，x－1∴g′(x)＝ x2，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.1(2)gx＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g1＝2lnx－x＋1，x xx－12则h