直线和圆综合的问地的题目地的题目型分类全面

实用标准文档第九讲 直线和圆问题一、直线与圆（一）直线和圆的位置关系及其特点1.直线和圆相交：直线和圆有两个公共点 . 2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点 .3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点 .（二）直线和圆的位置关系的判断Aa Bb C几何法：利用圆心O(a,b)到直线Ax By C 0的距离d 与半径r的大A2 B2小来判断.代数法：联立直线与圆的方程组成方程组， 消去其中一个未知量， 得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式 b2 4ac来判断.直线与圆的相交 相切 相离位置关系图形圆心到直线的距离db2 4ac（三）相交弦长1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长 .2.求相交弦长的两种方法精彩文案实用标准文档几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.代数法：若直线ykxb与圆有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长公式AB=．或．3.相交弦中点求法几何法：求出经过圆心与相交弦l垂直的直线方程l'，则l、l'的交点即为相交弦中点．代数法：联立直线l和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为x1,x2则相交弦的中点横坐标为x0x1x2，再把x0代入直线l的方程求得y0，(x0,y0)即2为中点弦坐标．（四）圆的切线１.圆的切线条数点在圆内时： ；点在圆上时： ；点在圆外时： ____________.2.圆的切线方程求法（1）求过圆上一点 (x0,y0)的切线方程求法先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系可知切线斜率为 k'，由点斜式方程求得切线方程.若k0或k不存在，则由图形可以直接求得切线方程．（2）求过圆外一点(x0,y0)的切线方程求法几何法：设切线方程为点斜式， 由圆心到直线距离等于半径求出斜率 k，从而求出切线方程．代数法：设切线方程为点斜式， 将切线方程代入圆的方程消去 y，得到关于x的一元二次方程，利用 0求出k，从而求出切线方程．3.过圆上一点 (x0,y0)的切线方程（1）经过圆x2y2r2上一点的切线方程为xxyyr2P（x0,y0）00.精彩文案实用标准文档（2）经过圆(xa)2(yb)2r2上一点P（x0,y0）的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.（3）经过圆x2y2DxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yDx0xEy02yF0.24.切线长：若圆C:(xa)2(yb)2r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d(x0a)2(y0b)2r2.5.切点弦：过圆C:(xa)2(yb)2r2外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.（五）圆系方程1.以(a,b)为圆心的圆系方程是_____________________________________.2.与圆x2y2DxEyF0同心的圆系方程是___________________________.3.过同一定点(a,b)的圆系方程是_________________________________________.4.过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是____________________________________________________________.5.过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程是_________________________________________________________.二、圆和圆（一）圆和圆的位置关系圆与圆之间有几种位置关系？（二）圆和圆的位置关系判断几何法：设两圆的半径分别为 r1,r2，圆心距为 d，比较d和r1,r2的大小关系.精彩文案实用标准文档代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程．根据 来判断.圆和圆的位 内含 内切 相交 外切 外离置关系图形两圆圆心的距离db2 4ac（三）圆与圆的公共弦1.两圆的相交弦所在直线方程的求法设两圆C1:x2 y2 D1x E1y F1 0 和C2:x2 y2 D2x E2y F2 0 相交时，- 得D1 D2 E1 E2 F1 F2 0若两圆相交，方程 表示过两圆交点的直线，即 为经过两圆交点的直线方程 .提示：当两圆相切时 为两圆的公切线方程 .2.公共弦长的求法代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长 .几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长 .三、直线与圆的方程的应用坐标法：建立适当的直角坐标系后， 借助代数方法把要研究的几何问题， 转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．精彩文案实用标准文档考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系例1：已知动直线l:ykx5和圆C:(x1)2y21，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？例2：若直线axby10与圆x2y21相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是__________.例3：圆C1:x2 y2 2mx 4y m2 5 0与圆C2：x2 y2 2x 2my m2 3 0.试问m为何值时，两圆（ 1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含；变式1：圆2x2＋2y2＝1与直线xsinq＋y－1＝0( R, 2 k ,k z)的位置关系是？变式2：已知点M(a,b)在圆O:x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是____________.变式3：已知圆C1:x2 y2 2x 8y 8 0，圆C2:x2 y2 4x 4y 2 0，试判断精彩文案实用标准文档两圆的位置关系 .练习：1.直线3x＋4y＋12＝0与eC：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是 __________.2.直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0(a 0)有公共点，则 a的取值范围是多少？3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则 m的值为( )A．0或2B．0或4C．2D．44.圆x2y22x＝0和x2y2+4y0的位置关系是___________.5.圆C1：(x m)2 (y 2)2 9与圆C2：(x 1)2 (y m)2 4外切，则m的值为多少？6.判断直线 L:(1 m)x (1 m)y 2m 1 0与圆O：x2 y2 9的位置关系.考点二、直线和圆相交（一）相交弦长例1：求直线l:3xy60被圆C:x2y22y40截得的弦长.精彩文案实用标准文档例2：已知圆C过点(1,0)，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 l:y x 1被圆C所截得的弦长为22，求圆的方程.例3：直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M,N两点,若MN23,则k的取值范围是___________________.变式1：在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30与圆C:(x2)2(y1)24交于A,B两点，求AB及AOB的面积.变式2：设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a．变式 3：已知圆 M:(x 1)2 (y 1)2 4，直线 l过点P(2,3),且与圆M相交于 A,B 两点,AB 23，求.直线l的方程.练习：1.直线y 2x 3被圆x2 y2 6x 8y 0所截得的弦长等于多少？2.已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得弦的长度为 4，则a ________.精彩文案实用标准文档3.直线l过点Q(0,5),被圆C:(x 2)2 (y 6)2 16截得的弦长为 43，求直线l的方程.4.直线x2y30与圆C:(x2)2(y3)29交于E、F两点，则ECF的面积为_______________.5.求与x轴相切，圆心在直线 3x y 0上，且截直线 x y 0的所得弦长为 27的圆的方程.6.直线 3x y 2 3 0截圆x2+y2=4的劣弧所对的圆心角是 ______________.（二）中点弦和弦的中点轨迹问题例1：已知圆x2 y2 4x 6y 12 0内一点A(4,2)，求以为A中点的弦所在直线的方程.例2：过点P(3,1),作圆M:(x 2)2 (y 2)2 4的弦，其中最短的弦长为 _________.精彩文案实用标准文档例3：直线y kx与圆x2 y2 6x 4y 10 0相交于两个不同点，求中点轨迹方程 .变式1：设圆C:x2 y2 4x 5 0的一条弦的中点为 P(3,1),则该弦所在直线的方程为___________________________________.变式2：过点（1，2）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的的方程为.变式3：已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．练习：1.（1）设直线2x 3y 1 0和圆x2 y2 2x 3 0相交于点A，B，弦AB的垂直平分线的方程为?（2）若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线 AB的方程.2.过点(2,1)的直线被圆 x2 y2 2x 4y 0截得的弦长最短的直线方程是？精彩文案实用标准文档3.经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦 AB的中点M的轨迹方程.4.若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦 AB的中点M的轨迹.5.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406（三）直线和圆相交最值问题例1：在圆x2 y2 4上，与直线4x 3y-12 0的距离最小距离是 _________该.点的坐标是 ．最大距离是 ___________该.点的坐标是 _________________.例2：若圆x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线 l:ax by 0的距离为2 2,则直线l的倾斜角的取值范围是 ．例3：若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是．精彩文案实用标准文档变式1：已知点P(x,y)是圆(x3)2(y3)24上任意一点，求到直线2xy60的最大距离和最小距离.变式2：在平面直角坐标系 xoy中，已知圆 x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为 1，则实数c的取值范围是 ___________________.变式3:直线l过点A(0，2)且与半圆C：x12y21(y0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是__________.练习：1.圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．12.设A为圆(x 2)2 (y 2)2 1上一动点，则 A到直线x y 5 0的最大距离为 ______.3.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为 2的点有（ ）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个精彩文案实用标准文档4.若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则半径r的取值范围是_________.5.若圆(x 3)2 (y 5)2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2的距离等于 1，则半径r的取值范围是_________.6.曲线y 1 4 x2(|x| 2)与直线 y k(x 2) 4有两个交点时，实数 k的取值范围是 _____.考点三、直线和圆相切（一）与圆相切的直线方程（点在圆外）例 1：自点M（31，）向圆x2 y2 1引切线，则切线方程是多少？（点在圆上）例2：经过圆上一点P(4,8)作圆(x7)2(y8)29的切线方程为_____________________.例3：与圆C：2(y5)23相切、且纵截距和横截距相等的直线共有条.x例4：把直线y 3x绕原点逆时针方向旋转，使它与圆 x2 y2 2 3x 2y 3 0相切，则3直线转动的最小正角是 _______________.变式1：求过A(3,5)且与圆C:x2 y2 4x 4y 7 0相切的直线方程 .精彩文案实用标准文档变式2：圆x2 y2 4x 0在点P(1, 3)处的切线方程为 __________________.练习：1.求过点A(2，2 2 2)的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程.2.已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线 PT的方程.3.已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切,且与直线axy10垂直,则a（）A.1B．1C．2D．1224.一条光线从点A(2，3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x3)2(y2)21相切，求反射后光线所在直线的方程____________________.5.垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是（）A．xy20B．xy10C．xy10D．xy206.若经过点P(1,0)的直线与圆x2y24x2y30相切，则此直线在y轴上的截距是．（二）与直线相切的圆方程精彩文案实用标准文档例：求圆心在直线 l1:5x 3y 0上，并且与直线l2：x 6y 10 0相切于点P（4,-1) 圆的方程.变式：若圆C经过坐标原点和点 (4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是_________.练习：1.圆心为（1，2）且与直线 5x 12y 7 0相切的圆的方程为 .2.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线 3x 4y 4 0与圆C相切，则圆C的方程为_______________.3.已知圆C的圆心是直线 x y 1 0与x轴的交点，且圆 C与直线x y 3 0相切，则圆C的方程为 ．（三）切点弦、切线长例1：过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线 PA，PB，则弦AB所在的直线方程为______________________.例2：自点 A( 1,4)作圆(x 2)2 (y 3)2 1的切线，则切线长为 _______________.精彩文案实用标准文档例3：已知P是直线3x4y80上的动点，PA,PB是圆C:x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，（1）那么四边形 PACB面积的最小值为多少？（2）直线上是否存在点 P使 BPA 60？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由 .例4.自动点P引圆x2y210的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.（1）若k1k2k1k21，求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线xym上，且PAPB，求实数m的取值范围.变式 1：过点 3,1作圆(x 1)2 y2 1的两条切线,切点分别为 A,B,则直线AB的方程为___________________________.变式 2：自直线y=x上的点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 .精彩文案实用标准文档变式3：由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB60，则动点P的轨迹方程为．练习1.过圆x2y24外一点M(4,1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A．4x y 4 0 B．4x y 4 0 C．4x y 4 0 D．4x y 4 02.过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()A．15B．115D．5C.23.由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．34.从直线l：2x-y+10=0上一点做圆 O：x2+y2=4的切线，切点为 A、B，求四边形PAOB面积的最小值.5.已知eO:x2+y2=1和定点A(2,1),由eO外一点P(a,b)向eO引切线PQ,切点为Q,且满足PQ=PA.(1)求实数a,b间满足的等量关系 ;精彩文案实用标准文档求线段PQ的最小值.（四）利用直线和圆的位置关系解决最值问题例1：已知实数x、y满足方程x2y24x10，y（1）求 的最大值和最小值；x2）求xy的最大值和最小值；3）求x2y2的最大值和最小值.变式：若实数 x,y满足x2 y2 2x 4y 0，则x 2y的最大值为 ．练习1.已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)y的最值；(2)x2+y2的最值；(3)x+y的最值；(4)x y的最值.x2.已知实数 x,y满足x2+y2=1，则y 2的取值范围为________________.x 1精彩文案实用标准文档考点四、圆与圆（一）圆与圆相切例1：求与圆x2y225内切于点（5，0），且与直线3x-4y50也相切的圆方程．变式：已知半径为 1的动圆与圆（x 5)2 (y 7)2 16相切,则动圆圆心的轨迹方程是______________________.练习：1.圆M：(x1)2(y1)28，圆N的圆心为N(2,2)且与圆M相切，求圆N的方程．2.求过点A(0,6)且与圆C：x2 y2 10x 10y 0切于原点的圆的方程．（二）圆与圆相交例1：求两圆：x2y26x4y0及x2y24x2y40的公共弦所在直线方程和公共弦长.精彩文案实用标准文档例2：已知圆C1:x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为________．例3：求过两圆 x2 y2 6x 4 0和 x2 y2 6y 28 0的交点，且圆心在直线y40上的圆的方程．变式1：圆x2y22x0和x2y24y0的公共弦所在直线方程为（）A.x2y0B.x2y0C.2xy0D.2xy0变式2：已知两圆x2y210x10y0和x2y26x2y400，则它们的公共弦长为______________.练习：1.圆x2y2xy20和圆x2y25的公共弦直线方程为________；公共弦长为.2.已知圆M：x2y210和圆N：x2y22x2y140,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.精彩文案实用标准文档考点六、综合拓展（设而不求、对称问题）例1：已知直线 x 2y 3 0交圆x2 y2 x 6y F 0于点P,Q，O为坐标原点，且OP OQ，则F的值为 ．例2：在以O为原点的直角坐标系中， 点A(4，3)为 OAB的直角顶点，已知AB 2OA，且点B的纵坐标大于 0.→(1)求AB的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．例3：已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分别是圆C1、C2上的动点， P为x轴上的动点,PM PN的最小值.变式1：若圆C:(x 3)2 (y 1)2 9与直线x y a 0交于A、B两点，且OA OB，求a的值.变式 2：若圆x2 y2 8和圆x2 y2 4x 4y 4 0关于直线l对称，则直线 l的方程为（ ）A.x y 0 B. x y 0 C. x y 2 0 D.x y 2 0练习精彩文案实用标准文档1.已知圆C1:(x+1)2(y-1)2=1,圆2与圆1关于直线x-y-1=0对称,则圆2的方程为()+CCCA.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=12.若两圆x2 y2 16及(x 4)2 (y 3)2 r2在交点处的切线互相垂直，求实数 r的值．3.已知圆(3-x)2 y2 4和直线 y mx的交点分别为 P、Q两点，O为坐标原点，则OP OQ的值为____________.考点七、实际运用例：有一种大型商品， A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费 A地是B地的两倍，若 A、B两地相距10km，顾客选择 A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？变式：如图，已知一艘海监船 O上配有雷达，其监测范围是半径为 25km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北 30km的B处岛屿，速度为28km/h. 问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能， 持续时间多长？精彩文案实用标准文档练习：航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面 9米，拱圆内水面宽为22米，船只在水面上部高为 6.5米,船顶宽4米,故船行无阻.近日水位暴涨了 2.7米,船只已不能通过桥洞 ,船员必须加重船载 ,降低船身.问:船身必须降低多少 ,才能通过桥洞 ?巩固训练1.直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离2.已知圆x2y2x2y61，圆(xsin)2(y1)21，其中090，则两1616圆的位置关系为（）A.相交B．外切C．内切D．相交或外切3.若曲线y 1 x2与直线y x b始终有两个交点，则 b的取值范围是__________.精彩文案实用标准文档4.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于()A．652C．1D．5B．25.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为 2 3，则a＝________.6.若过点 A(4,0)的直线 l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线 l斜率的取值范围为_________.7.直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0(a 0)没有公共点，则 a的取值范围是_____.8.设P是圆(x3)2(y1)24上的动点,Q是直线x3,PQ的最小值为上的动点则__________________.9.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是 ．10.求与圆x2 y2 2x 4y 1 0同心，且与直线 2x y 1 0相切的圆的方程 .11.过点(2,1)的直线中被圆x2y22x4y0截得的弦长最大的直线