知识讲解-等比数列及其前n项和-基础

等比数列及其前 n项和编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质和前 n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系 .【要点梳理】要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：an1q(q0).an要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项an0且q0an0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件；；“④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据an1q(nN*，q0).利用这种形式来判定，就便于操作了.an要点二、等比中项如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为a与b的等比中项.其中Gab。要点诠释：①只有当a与b同号即ab0时，a与b才有等比中项，且a与b有两个互为相反数的等比中项.当a与b异号或有一个为零即ab0时，a与b没有等比中项。②任意两个实数a与b都有等差中项，且当a与bab确定时，等差中项c唯一.但任意两个实数a2与b不一定有等比中项，且当a与b有等比中项时，等比中项不唯一。③当ab0时，a、G、b成等比数列GbG2abGab。aG④G2ab是a、G、b成等比数列的必要不充分条件。要点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为：an a1qn1(n N*，a1q 0)推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义anq可得anan1q(n2)：an1a2a1qa1q21；a3

a2q

(a1

q)q

a1q2

a1q31；a4

a3q

(a1

2q)q

a1q3

a1q41；⋯⋯an

an1q

a1qn1(n

2)当n=1

时，上式也成立∴归纳得出：

an

a1

qn1

(n

N*，a1

q

0)（2）叠乘法：根据等比数列的定义 an q可得：an1a2q，a1a3q，a2a4q，a3⋯⋯anq，an1把以上n1个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：anqn1，即ana1qn1(n2)a1又a1也符合上式∴ana1qn1(nN*，a1q0).(3)迭代法：anan1qan2q2a2qn2a1qn1∴ana1qn1(nN*，a1q0).要点诠释：①通项公式由首项 a1和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.②通项公式中共涉及 a1、n、q、an四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量 .等比数列的通项公式的推广已知等比数列{an}中，第m项为am，公比为q，则：an amqnm证明：∵aaqn1，aaqm1n1m1ana1qn1qnm∴aqm1am1anamqnm由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式an a1qn1(n N*，a1q 0)可以看成是m 1时的特殊情况。要点四、等比数列的前 n项和公式1等比数列的前 n项和公式na1(q1)Sna(1qn)a1anq1(q1)1q1q推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有a2a3anqa1a2an1a2a3anSna1q(1q)Sna1anq根据等比性质，有a2an1Snana1∴当q1时，Sna1anq或Sna1(1qn).1q1q（2）错位相减法等比数列{a}的前n项和Saaaa，nn123n①当q1时，aa，Sna1a2a3anna1；n1②当q1时，由ana1qn1得：Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1qSaqaq2aq3aqn1aqnn11111(1q)Sna1nna1qa1anqa（11q）∴Sna1anq或Sna1(1qn).1q1qna1(q1)即Sna1(1qn)a1anq1)1q1q(q要点诠释：①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法 .②在求等比数列前 n项和时，要注意区分 q 1和q 1.③当q 1时，等比数列的两个求和公式，共涉及 a1、n、q、an、Sn五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量 .要点五、等比数列的性质设等比数列

{an}的公比为

q①若

m,n,p,q

N

，且

m

n

p q,则am

an

ap

aq，特别地，当

m

n

2p

时am

an

ap

2.②下标成等差数列且公差为

m的项

ak

,akm,ak2m,⋯组成的新数列仍为等比数列，公比为

qm.③若

{an}

，{bn}

是项数相同的等比数列，则

a2n

、

a2n1

、

kan

（k

是常数且

k

0）、{

1}an

、{anm}(mN,m是常数)、anbn、{an}也是等比数列；bn④连续k项和（不为零）仍是等比数列.即S,S2kSk,S3kS2k，⋯成等比数列.k要点六、等比数列中的函数关系等比数列{an}中，ana1qn1a1qn，若设ca1,则：ancqnqq（1）当q1时，anc，等比数列{a}是非零常数列。它的图象是在直线yc上均匀排列的一群n孤立的点.（2）当q0且q时，等比数列{an}的通项公式ancn1q是关于n的指数型函数；它的图象是分布在曲线ya1qx（q0且q1）上的一些孤立的点.q①当q1且a10时，等比数列{an}是递增数列；②当q1且a10时，等比数列{an}是递减数列；③当0q1且a10时，等比数列{an}是递减数列；④当0q1且a10时，等比数列{an}是递增数列。（3）当q0时，等比数列{an}是摆动数列。要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.【典型例题】类型一：等比数列的定义【高清课堂：等比数列及其前n项和381054典型例题例1】例1．设an是公比为q的等比数列，q1，令bnan1n1,2,，若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q【答案】9【解析】由题知an有连续的四项在集合54,24,18,36,81中，则必有-54，-24为相隔两项，又∵q1∴q2549，q324426q9【总结升华】此例中要注意等比数列项的特征，找到关键的两项54,24，问题就可迎刃而解了.举一反三：【变式】如果1,a,b,c,9成等比数列，那么（）A.b3,ac9B.b3,ac9C.b3,ac9D.b3,ac9【答案】B例2.已知数列{an}的首项为a12,an12an,n1,2,3,⋯⋯，3an1【思路点拨】本题的变形中要有极强的目标意识。证明：数列{11}是等比数列.an【解析】由an12an,得，1an1111.an1an12an22an∴111(11),又a12,112an12an3a13∴数列{11}是首项为1，公比为1的等比数列.an22【总结升华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.举一反三：【变式】已知数列{an}中a11,an2an130(n2).判断数列{an1}【答案】{an1}

是等比数列，并说明理由是等比数列∵a11,an2an130(n2).∴an12(an11)，∴数列{an1}是首项为2，公比为-2的等比数列类型二：等比数列通项公式的应用例3．已知等比数列{a}，若a1a2a37，aaa8，求a.n123n【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，使计算简捷。【解析】an2n1或an23n；法一：∵a1a3a22，∴a1a2a3a238，∴a22a1a351，a34或a14，a31从而a1a34,解之得a1当a11时，q2；当a14时，q1。2故an2n1或an23n。法二：由等比数列的定义知a2a1q，a3a1q2代入已知得a1a1qa1q27a1a1qa1q28a1(1qq2)7,a1(1qq2)7,(1)a13q38a1q2(2)将a12代入（1）得2q25q20，q解得q2或q12a1a14由（2）得11，以下同方法一q2或q2【总结升华】①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】±96法一：设公比为88，∴q=±2，∴a6=±96；q，则768=a1q，q=256法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；∵a1a89a45216，又an＞0，∴a45=4∴a44a45a46a45364。类型三：等比数列的前n项和公式例4．求等比数列1,1,1,的前6项和。364；39【答案】2431【解析】∵a1，q，n61316113316∴S6364121243133【总结升华】等比数列中a1,n,q,Sn,an中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决.举一反三：【变式1】（2015安徽卷）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________．【答案】a1a1q39①a12q38②由②式得q3 8代入①式a12得a1＝1，q＝2∴Sn12n2n112【变式2】在等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q。【答案】q1或2，n6；2∵a2an1a1an，∴a1an128解方程组a1an128a164a12，得或a1 an 66 an 2 an 64①将a164代入Sna1anq1an21，得q，q2由ana1qn1，解得n6；②将a12代入Sna1anq，得q2，an641q由ana1qn1，解得n6。∴q1。或2，n62【变式3】（2016新课标Ⅰ文）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=1，anbn1bn1nbn.3（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和.【答案】（1）由已知，a1b2+b2=b1，b1=1，b21，得a1=2，所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数3列，通项公式为an=3n－1。bn（2）由（1）和anbn+1+bn+1=nbn得bn13

，因此{bn}是首项为 1，公比为1的等比数列。记 {bn}的前31(1)n31n项和为Sn，则S3。n1223n113类型四：灵活运用等比数列的性质例5.在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。32【答案】216；【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、q的问题，列出a1、q的方程组。【解析】法一：设这个等比数列为{an}，其公比为q，∵a18，a527a1q48q4，∴q481，q2932316433∴a2a3a4a1qa1q2a1q3a13q68963216。34法二：设这个等比数列为{an}，公比为q，则a18，a527，32加入的三项分别为a2，a3，a4，由题意a，a，a也成等比数列，∴a3282736，故a6，135323∴a2a3a4a32a3a33216【总结升华】法一注重了等比数列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中项的特征.举一反三：【变式1】等比数列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2...log3a10.【答案】10∵{an}是等比数列，∴a1a10a2a9a3a8a4a7a5a69∴log3a1log3a2log3alog(aaaa)log(aa)5log9510103123103563【变式2】若等比数列an满足anan116n，则公比为（）（A）2（B）4（C）8（D）16【答案】B类型五：等比数列前n项和公式的性质例6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【思路点拨】等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，⋯⋯，第n个k项和仍然成等比数列。【答案】130；【解析】2法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴(S20-S10)=S10·(S30-S20)即302=10(S30-40),∴S30=130.法二：∵2S10≠S20，∴q1,∵Sa1(1q10)10,S20a1(1q20)40,101q1q∴1q101,∴q103,∴a1q51q2041∴S30a(1q30)(5)(133)130.1q1【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷 .举一反三：【变式1】等比数列{an}中，公比 q=2,S4=1,则S8=___________.【答案】17；44444444S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q+a2q+a3q+a4q=S4+q(a1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1+q)=1×(1+2)=17【变式2】在等比数列{an}中，已知Sn48，S2n60，求S3n。【答案】63【变式3】等比数列{an}中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，∴b3=b22362=4,即a5+a6=4.=324b1【变式4】等比数列{an}123456789的值。中，若a+a+a=7,a+a+a=56,求a+a+a【答案】448；3{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q,∴q=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例7．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.【思路点拨】恰当地设元是顺利解方程组的前提【解析】法一：设成等差数列的三数为

.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式a-d,a,a+d.

.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.a2(ad)(ad32)..........(1)∴4)2(a(ad)(ad)..........(2)由(2)得a=d216...........(3)8由(1)得32a=d2+32d..........(4)(3)代(4)消a，解得d8或d=8.8263∴当d；当d=8时,a=10时,a93∴原来三个数为2,26,338或2,10,50.999法二：设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列2aqaaq232........(1)∴4)2a(aq2(aq32)......(2)2由(2)得aq 4

，代入(1)解得q=5或q=132当q=5时a=2；当q=13时a.9∴原来三个数为2，10，50或2，26,338.999【总结升华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为x，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解y决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 .【答案】为 2，6，18或2, 10,50；9 9 9【变式2】有四个数，其中前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x2yx12y.......(1)∴y)2y(16x).......(2)(12由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,∴4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,∴y=4或9，x=0或15，∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.【高清课堂：等比数列及其前n项和381054典型例题例2】【变式3】已知a是各项均为正数的等比数列，且a1a22(