动力学建模方法与解法总结

目录刚体系统 1弹性系统动力学 6高速旋转体动力学 10PAGEPAGE13刚体系统体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型（包含有闭链；按其同外界的联系情况，则有有根和无根之别。利用图论的工具可以对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。自由物体的变分运动方程任意一个刚体构件i，质量为mi

，对质心的极转动惯量为J，设作用于i刚体的所有外力向质心简化后得到外力矢量 F和力矩ni i

，若定义刚体连体坐标系xoy的原点o位于刚体质心，则可根据牛顿定理导出该刚体带质心坐标的变分运动方程：

rT[mF][Jn]0 (1-1)i ii i i i i i其中，ri

为固定于刚体质心的连体坐标系原点o的代数矢量，i

为连体坐标系相对于全局坐标系的转角，ri

与i

r与i

的变分。定义广义坐标：广义：

q [rT,i i

]T (1-2)及质量矩阵：

Q [FT,ni i

]T (1-3)M diag(m,mi i i

,J) (1-4)i体坐标系原点固定于刚体质心时用广义力表示的刚体变分运动方程：qT(Mi束多体系统的运动方程

Qi i

)0 (1-5)考虑由nb个构件组成的机械系统，对每个构件运用式 (1-5)，组合后可得系统的变分运动方程为：nbi1

qT[Mi

Qi i

]0 (1-6)若组合所有构件的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量，构造系统的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量为：q[qT,qT,...,qT]T

(1-7)1 2 nbMdiag(M,M ,...,M ) (1-8)1 2 nbQ[QT,QT,...,QT]T

(1-9)1 2 nb系统的变分运动方程则可紧凑地写为：qTQ]0 (1-10)对于单个构件，运动方程中的广义力同时包含作用力和约束力，但在一个系统中，若只考虑理想运动副约束，根据牛顿第三定律，可知作用在QA[QAT,QAT,...,QAT]T (1-11)其中：

2 nbQA[FAT,nA]T，inb (1-12)i i则理想约束情况下的系统变分运动方程为：qTQA]0 (1-13)式中虚位移q与作用在系统上的约束是一致的。系统运动学约束和驱动约束的组合如式(1-10)，为：(q,t)0 (1-14)对其微分得到其变分形式为：

q0 (1-15)q式(1-13)和(1-15)组成受约束的机械系统的变分运动方程。为导出约束机械系统变分运动方程易于应用的形式，运用拉格朗日乘子定理对式(1-13)和(1-15)进行处理。拉格朗日乘子定理：设矢量bRnxRnARmn为常数矩阵，如果有：

bTx0 (1-16)对于所有满足式（1-84）的x条件都成立。Ax0 (1-17)则存在满足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量Rm。x

bTxTAx0 (1-18)在式(1-13)和(1-15)中，qRn，MRnn，QARn， Rmn，运用q拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，则存在拉格朗日乘子矢量Rm，对于任意的q应满足：QA

TQA0 (1-19)q q由此得到运动方程的拉格朗日乘子形式：TQAq

(1-20)式(1-20)还必须满足式(1-10)、(1-12)和(1-14)束方程及加速度约束方程，如下：(q,t)0 (1-21)(,,t)q(,t)0，t(q,t) (1-22)(,,,t)q(,t)(q,,t)0，(q)q2qttt (1-23)以上三式其维数同式(1-14)。式(1-20)(1-21)(1-22)和(1-23)将式(1-20)与(1-23)联立表示为矩阵形式：M T QA q (1-24)q0 q式(1-24)即为多体系统动力学中最重要的动力学运动方程，式 (1-24)还必满足式(1-22)和(1-23)。它是一个微分——代数方程组，不同于单纯的常微分方程组问题，其求解关键在于避免积分过程中的违约现象，此外，还要注意DAE问题的刚性问题。如果系统质量矩阵是正定的，并且约束独立，那么运动方程就有唯一解。实际中的系统质量矩阵通常是正定的，只要保证约束是独立的，运动方程就会有解。在实际数值迭代求解过程中，需要给定初始条件，包括位置初始条件q(t和速度初始条件。此时，如果要使运动方程有解，还需要满足初0 0值相容条件，也就是要使位置初始条件满足位置约束方程，速度初始条件(1-24)及(1-21)(1-22)初值相容条件为：(q(t),t)0 (1-25)0 0(qt),t),t)(qt),t)t)(qt),t)0 (1-26)0 0 0 q 0 0 0 0 0正向动力学分析、逆向动力学分析与静平衡分析对于一个确定的约束多体系统，其动力学分析不同于运动学分析，并不需要系统约束方程的维数m等于系统广义坐标的维数n，mn。在给定外力的作用下，从初始的位置和速度，求解满足位置约束式 (1-22)及速度束式(1-23)的运动方程式(1-24)，就可得到系统的加速度和相应的速度、位置响应，以及代表约束反力的拉格朗日乘子，这种已知外力求运动及约束反力的动力学分析，称为正向动力学分析。如果约束多体系统约束方程的维数 m与系统广义坐标的维数n相等mn，也就是对系统施加与系统自由度相等的驱动约束，那么该系统在运动学上就被完全确定，由2.2.3解系统运动。在此情况下，雅可比矩阵是非奇异方阵，即：q(q,t)0 (1-27)展开式(1-24)的运动方程，为：TQAq

(1-28) (1-29)q由式(1-29)(1-28)，拉格朗日乘子就唯一地确定了作用在系统上的约束力和力矩（主要存在于运动副中）。这种由确定的运动求系统约束反力的动力学分析就是逆向动力学分析。如果一个系统在外力作用下保持静止状态，也就是说，如果：0 (1-30)那么，就说该系统处于平衡状态。将式 (1-30)代入运动方程式(1-20)，得平衡方程：TQAq

(1-31)由平衡方程式(1-21)及约束方程式(1-13)可求出状态q和拉格朗日乘子。这种求系统的平衡状态及在平衡状态下的约束反力的动力学分析称为（静）平衡分析。约束反力对于约束机械系统中的构件i，设其与系统中某构件j存在运动学约束或驱动约束，约束编号为k。除连体坐标系xoyi为原点建立一个新的固定于构件上的坐标系 x，称为运动副坐标系，设从坐标系xPy到坐标系xoy的变换矩阵为Ci

，从坐标系xoy到坐标系xoy的变换矩阵为Ai

，则可导出由约束k产生的反作用力和力矩分别为：FkCTATkTk (1-32)i i i riTk(sPTBTkTkT)k (1-33)i i i r i i以上两式中，k为约束k对应的拉格朗日乘子，反作用力 Fk和力矩Ti i

k均为运动副坐标系xPy中的量。弹性系统动力学的旋翼等工程结构发展的需求，使运动中的弹性结构的动力学分析得到了很大运动中弹性体的动力分析问题可分为两类,其一是具有给定刚体运动的弹体运动与其中的弹性体的弹性变形的相互耦合的动力分析,在这类问题中,体的变形会受到系统刚体运动的影响，反之弹性体的变形也会影响系统的刚体运动。下面采用运动参考系方法并用Jourdain动力学普遍方程导出了具有空间一,接积分法。下面给出了对时变的运动弹性的动力学方程的Neumann2积分解法,该方法可以在保证计算精度的前提下很大程度地节省机时。图2-12-1BB的刚体运动与弹性变形:静系ox1x2x3o系;B上的o点,B上的动o o o 1系o

x2x3

系。B的刚体移动由o

点对于o点的矢量r

B的o1o o o 1 1o1 1 1 1空间转动则用o1

系对o系的转动来定义,BP的弹性变形则用在o系1内的弹性变形位移矢量u来表示。B发生弹性变形后,P对o系的位置矢量可以表示为:r r rp o u1而

（2-1）r ru （2-2）u其中rBP点在o1

系中的位置矢量，u则表示P点的弹性变形位移矢量。把(2-2)式代入(2-1)式并向o系投影,且采用矩阵形式表示为:

rop

roAoo1Aoo11

roro

uouo

（2-3）A1其中ro 和ro 分别表示r 和r 向o 系的投影列阵；oo 表示A1

系向o系转移opp o 1op1 的方向余弦矩阵。把(3-3)式中u1 的用有限元的格式，表达为:uoNuoN1

（2-4）其中 P为单元形函数矩阵， 为 点所在单元的有限元结点位移列阵把(2-4)式代入(2-3)式,并利用公式:

（2-5）11A1Aoo oo 11A1 o其中 是 系相对于o系转动角速度在oo111由(2-3)式对时间分别求一次导数和二次导数可得P点的速度vop

和加速度aoP点的虚速度vo

于是P点邻域之微元体的Jourdain动力p学普遍方程可以写作:

pT

，

（2-6）vop

mao 0p p其中: m

为弹性体在P点的质量密度；f是作用于P点微元体上的全部力在Op 1系上的投影。T

对于vop

可利用常规有限元的格式将它写作:T

T

vo

NTFK

（2-7）p 其中:和P点的值;P点微元体上的外力在O1

系的列阵,把求得的P点的虚速度和加速度以及(2-7)式代(2-6)式,并考虑到中诸元素之独立性,P点微元体的动力学方程为： T

TN F K

m

dvVp p

ao p

（2-8）将(2-8)式对单元积分便可得运动的弹性体的单元动力学方程:

MeCeKe

Fe （2-9） 式中:Me

NT

dvpCeT

T T

N

Ndv2m

Aoo

oo

Aoo

NdvC C1 1 1p s dKeT

T T

BA1 A1

DBdvm p

oo

oo

oo

1A1oo oo1A11

NdvK Ks dFe

TT

TT

NT

Fdvm Np

oo rodvm No p

oo

oo

oo

oo oo1

o dvAA11Ar111AA11Ar111s

Fd

1

其中分别是常规有限元法中的单元阻力阵刚度阵和外力向量,s s s而d

，Kd

d

则分别是由于刚体运动与弹性变形的耦合而产生的附加单元动力阻尼阵、动力刚度阵和动力力向量。而且由于它们的表达式中含有表示弹性r r 体空间运动量o和

，因此,通常这些动力附加项是时变的。当弹性体的刚o1体运动速度特别是转动速度较大时,弹性体受到较大的惯性力作用,会产生变形,由于离心惯性力产生的轴向拉力会增大梁的抗弯刚度,即所谓的“刚化效应”。这时在(2-10)中需计入结构s的几何刚度阵,结构的几何刚度阵往往是未知内力的函数,这时方程(2-9)式就是一个非线性的动力方程。但对于简单的弹性体,如梁,由于刚体运动的惯性力产生的轴力容易求得,即方程(2-9)式为时变动力学方程时的数值解法。显然,若弹性体没有刚体运动,则方程(2-9)式退化为常规的有限单元动力学方程。把(2-9)式按常规有限元的组集方法进行组集,便可得到对于运动弹性体的具有时变特性的、通用的有限元动力学方程:MCKF

（2-10） 高速旋转体动力学高速旋转体通常是由是由三个刚体──外环、内环、转子互相约束在一起而成，对称卡登陀螺仪和单刚体陀螺仪的理论模型没有本质区别，具有所谓“但实际上,理论研究和精密的实验研究都已证明这个想法是错误的。平衡对称卡登陀螺仪的空间定向大都具有里雅普诺夫意义下的不稳定性（见运动稳定性。能正确解释卡登陀螺仪的动力学特征。图3-13-1D与长度lD/l5,一般都采用矢量法来求校m、mm和m。但是这种方法所带来问题是力多边形不b b bb bb动平衡机的工厂无疑有一定的实用价值。3-2所示，不平衡质量m、m、m1 2 3

分别分布在123内,各质点距回转轴线的矢径分别为rr、1 2r。当转子以等角速度。回转时,各质点所产生的离心惯性力分别为3Pm1 1

r2 （3-1）1P m2 2

r2 （3-2）1Pm3 3

r2 （3-3）1图3-2TA与轴线垂直的平面T过B与轴线垂直的平面作为校正平面，在TT平面内分别加上校正质量m、bm，矢径为r、r，则校正质量所产生的离心惯性力为Pmr2和b b b b bbPmr2PPPPP组成了空间力系。b bb

1 2 3 b bxyz轴如图所示，并将作用在转子上的所有力向YAZXAY3-3所示。图3-3在图3-3中,所有的力组成了平面平行力系,列平衡方程：m0，P

l

lPl0 （3-4） A

1z1

2z2 bzF 0，PP P P0 （3-5）解得：

z bz 1z 2z bz PlPlP 2z2bz

1z1

（3-6）PPP P

（3-7）式中：

bz 2z 1z 2zP PZ

Pcos

，N；1z 1P P2z 2

1zZPz

1 1Pcos2

，N；PPZPPcosN；bz b bz bP