回归直线方程

【核心扫描】1．求回归直线的方程．(重点)2．准确理解变量的相关关系．(易混点)2.3.1变量之间的相关关系2.3

变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关小明,你数学成绩不太好,物理怎么样?也不太好啊.学不好数学,物理也是学不好的?????...你认为老师的说法对吗?事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之间的相关关系我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:物理成绩数学成绩学习兴趣花费时间其他因素1.下列关系中是相关关系的是().A.位移与速度、时间的关系 B.烧香的次数与成绩的关系C.广告费支出与销售额的关系D.物体的加速度与力的关系变量间的相关关系在我们的生活中广泛存在:如:（1）粮食产量与施肥量之间的关系

（2）人体内脂肪含量与年龄之间的关系2、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响.1.变量之间除了函数关系外，还有相关关系.相关关系的概念：

两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。

如何研究这种变量间的相关关系呢？通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.知识探究（二）：散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?知识探究（一）：回归直线思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？

这些点大致分布在一条直线附近.思考3：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量，其回归直线一定通过样本点的中心吗？一定思考4：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？一条思考5：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？知识探究（二）：回归方程

在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？

整体上最接近思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)可以用或，其中.思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？

思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)思考5：根据有关数学原理分析，当

时，总体偏差为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？20.9%题型一变量间相关关系的判断下列关系中，属于相关关系的是________．①正方体的棱长与体积之间的关系；②人的身高与视力的关系；③自由落体的物体的质量与落地时间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．[思路探索]确定两个变量是否有关系，若有关系，是确定的，还是随机的，即可得到结果．【例1】解析

题号判断原因分析①函数关系正方体的棱长与体积的关系为V＝a3，确定性关系②不是相关关系身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系③不是函数关系，也不是相关关系自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系④相关关系降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性的关系答案④规律方法

(1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线运动中路程s与时间t的关系；相关关系是一种非确定性关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．(2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定性．下列关系中，带有随机性相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人一生的身高与年龄之间的关系；④某餐点热饮销售的数量与气温的关系．解析①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系；④一般来说，气温越高，售出的热饮越少．因此填②④.答案②④【变式1】某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下：题型二

求线性回归方程【例2】年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；(2)如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．[思路探索]画出散点图，判断其线性相关性，求出回归直线方程．解

(1)由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图如图所示．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线方程刻画它们之间的关系．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：【变式2】零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)画出散点图．(2)求加工时间y关于零件数x的回归直线方程．解(1)画出散点图如图．由图可知y与x是线性相关的．(2)列表、计算：序号12345678910∑x102030405060708090100550y626875818995102108115122917xy6201360225032404450570071408640103501220055950x21004009001600250036004900640081001000038500下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．题型三

求回归直线方程并对总体进行估计【例3】x3456y2.5344.5[规范解答](1)散点图如图所示：(3)现在生产100吨甲产品用煤y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，∴90－70.35＝19.65，∴降低19.65吨标准煤． (12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：【变式3】使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0解

(1)先把数据列成表．序号12345xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种方法，它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化．本章的数形结合