第九章 第二节 用样本估计总体

第二节用样本估计总体抓基础明考向提能力教你一招我来演练第九章统计、统计案例及算法初步

[备考方向要明了]考

什

么1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、

频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标准差．3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出

合理的解释．4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计

总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实

际问题.怎

么

考从高考内容上来看，频率分布直方图、茎叶图、样本数据及数字特征是命题的热点，各种题型都有，难度中低档，多与概率问题相结合交汇考查．注重考查学生解决问题的能力.1．条形统计图的特点数据量很大时，能直观地反映数据分布的大致情况，且能清晰地表示出

．2．茎叶图表示数据有两个突出的优点(1)统计图上没有

，所有的原始数据都可以从这个茎叶图中得到；(2)茎叶图可以随时记录，方便

．但是，当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．各个区间的具体数目信息的损失表示与比较(2)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．4．样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出现次数

的数据叫做这组数据的众数.中位数将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的

.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该

.最多最中间相等中位数数字特征定义平均数方差s2＝

.其中s为标准差.样本数据的算术平均数．即1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为 (

)A．4

B．8C．12 D．16答案：

C解析：频数＝32×0.375＝12.答案：A2．(教材习题改编)某同学进入高三后，

4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的平均分是(

)A．125

B．122.25C．45 D．129.511412681323．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 (

)A．75辆B．120辆C．180辆

D．270辆答案：

C解析：据直方图可得300辆中车速低于限速的汽车所占的频率为10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其频数为300×0.6＝180.4．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：则样本在(20,50]上的频率为________．组别(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频数234565．(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5.乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________．答案：乙(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标．(2)对标准差与方差的理解：

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大

小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准

差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原

始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程

度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程

度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标

准差．[精析考题][例1]

(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为(

)A．18

B．36C．54 D．72[自主解答]

由直方图得样本数据在[10,12)内的频率为0.18.则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.[答案]

B本例条件不变，问：(1)样本数据的众数约为多少？(2)样本数据的平均数是多少？解：(1)众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故应为9.(2)平均数为3×0.02×2＋5×0.05×2＋7×0.15×2＋9×0.19×2＋0.09×11×2＝8.12.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·济南模拟)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是________．答案：482．(2012·杭州模拟)某初一年级有500名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)，若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[130,140)内的学生中选取的人数应为________．答案：

10[冲关锦囊](2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，3．(2012·杭州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________.答案：

64解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64.4．(2011·太原联考)甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是________组.答案：甲[冲关锦囊]1．茎叶图适用的原则样本数据较少时，效果较好．样本数据较多时，枝叶会很长不方便记录，此方法不实用．2．茎叶图的优点(1)能够保留原始数据；(2)展示数据的分布情况.[精析考题][例3]

(2011·广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：

B品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413[冲关锦囊](1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．易错矫正 频率分布直方图中概念不清致误[考题范例](12分)(2012·合肥模拟)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均合格．由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中的