第三节(1) 格林公式_第1页
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格林公式及其应用一、格林公式二、格林公式的应用第三节(1)第十一章微积分学基本公式Newton-Leibnitz

公式:一个重要的数学关系区域内部与边界的问题问题之间的联系Green公式:P,Q在D

上有一阶连续偏导数;L

是D

的正向边界曲线.单连通区域1.单(复)连通区域及其正向边界复连通区域单连通区域就是没有“洞”的区域.一、格林公式L1L2L当观察者沿边界行走时,区域D

总在他的左边.2.格林公式上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线

L

围成,则有函数在D上具有连续一阶偏导数,L证:情形1.X-型xOy

xabDABCEoy

xabDABCEY-型0y

xDAEBCcd情形2.

若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图ABCNPM情形3.

若D为复连通区域,则将D

沿辅助线AB

割开,得到以为正向边界的单连通区域.L1L2DAB证毕.1.计算平面区域的面积二、格林公式的应用例1．解：2.计算曲线积分例2.解:y=0y=1-

xx例3.解:La-a不能直接应用格林公式!原式=解:例4.LabD在D内作圆周取顺时针方向.记L和

l

所围的区域为lr则令=0.LabDlr例5.

计算其中L为上半从A(4,0)

到O(0,0).解:添加辅助线段它与L

所围区域为D,

则原式圆周L不是闭曲线!例6.解:LL的方向是负方向!L的逆方向是正方向!3.计算二重积分例7.解:DC(2,4)DC(2,4)例8.解:D故D11根据格林公式得思考

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