第1章随机事件及概率5-6节

随机事件的独立性与伯努利概型一、事件的相互独立二、伯努利概型基本内容：第五、六节

2023/2/51一、事件相互独立1.问题的引入设A，B是试验E的两事件，现比较P(A|B)与P(A).一般地,P(A|B)

≠P(A).只有B的发生对A发生的概率无影响，才会有P(A|B)

=P(A),若P(B)>0，可定义这时有2023/2/52引例：设Ai表示“第i次取得一等品”,事件A1的发生并不影响事件A2发生的概率大小.结果表明:设在10个元件中有7个一等品，放回地连续抽取两次，每次抽取一个元件.分析：由题意知试比较有2023/2/53注：对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立

(简称为独立).若2.事件的两两独立定义.解释:A与B相互独立，是指A(或B)的发生与B(或A)的发生的概率无关.2023/2/542o独立与互不相容的关系它们是两个不同的概念，无必然的联系.(1)A与B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)(2)A与B互不相容:意义：A的发生与否对B的发生的(概率)无影响.意义:A与B不能同时发生,是事件间本身的关系.容易证明，若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立的.2023/2/55性质:(2)若事件A与B相互独立，也相互独立.则下列各对事件推论：若这四对事件中,只要有一对独立，则其余三对也独立.2023/2/56只证事件从而由此得因为证(2):AB2023/2/57例1.一个家庭中有三个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,A=“一个家庭中有男孩、又有女孩”B=“一个家庭中最多有一个女孩”讨论A与B的独立性？解：有三个小孩的家庭的样本空间为2023/2/58于是有因此事件A与B相互独立.2023/2/593.多个事件的独立性(1)三个事件的独立性定义1.

设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)则称事件A、B、C两两独立.2023/2/510定义2.设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C相互独立.注：3个事件相互独立3个事件两两独立（两两独立）2023/2/511

例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?解:由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,

因此又由题意知伯恩斯坦反例2023/2/512故有因此A,B,C不相互独立.则三事件A,B,C两两独立.由于2023/2/513(2)n个事件的独立性设n个事件若其中任意两个事件有则称这n个事件两两独立.定义1.2023/2/514定义2.设有n个事件若其中任意k个事件有则称这n个事件相互独立.n个事件相互独立需要证多少个等式？注：n个事件相互独立n个事件两两独立2023/2/515则有性质：相互独立，2.设n个事件1.若n个事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立，则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.2023/2/516事件A表示“系统L-R能正常工作”,例3.用4个元件组成一个系统如图,各个元件能否正常工作是相互独立的,每个元件的可靠性(正常工作的概率)为p(0<p<1),求系统的可靠性.1234LR解:设事件Ai表示“第i个元件能正常工作”(i=1,2,3,4),则由于2023/2/517则有所以2023/2/518二、伯努利概型则称E为伯努利试验或伯努利概型.

考虑一个简单的试验,它只出现(或只考虑)两种结果,如某批产品抽样检查得到合格或不合格;射击手命中目标或不命中;发报机发出信号0或1;掷一次骰子点数“6”是否出现等.一般地,试验E只有两种结果A和A，而P(A)=p(0<p<1),2023/2/5191.n重伯努利概型将伯努利试验E独立地重复进行n次,我们把这n次独立重复伯努利试验总起来看成一个试验,称这种试验为n重伯努利试验(n重伯努利概型).注：n重伯努利试验有3个特点：(1)每次试验的结果只能是A或A;(2)A在每次试验中出现的概率p保持不变;(3)各次试验相互独立;2023/2/520例4.连续抛掷一枚硬币两次，观察正、反面出现的情况.2重伯努利概型例5.抛一颗骰子n次，观察是否“出现3点”.n重伯努利概型A={正面},A={反面}且P(A)=1/2,A={出现3点},A={不出现3点}分析：且P(A)=1/6，分析：每次试验有2种结果每次试验有2种结果又试验独立重复进行n次又试验独立重复进行2次2023/2/5212.二项概率公式定理.在伯努利概型中,设事件A在各次试验中A恰好出现k次的概率为发生的概率为P(A)=p(0<p<1),则在n次试验中,2023/2/522证明：在n重伯努利概型中，事件A恰好出现k次：共有Cnk种方式,pk(1-p)n-k=pkqn-k

k次n-k次k-1次n-k-1次……且两两互不相容.每一种方式发生的概率均为2023/2/523因此事件A在n次试验中发生k次的概率为由于故称此公式为二项概率公式.2023/2/524设某种药对某种疾病的治愈率为80%,设Ak表示“恰好有k个人被治愈”,

现有10个患这种疾病的病人同时服用这种药，(2)至少有6人被治愈的概率。求解：例6.3.应用(1)恰有6人被治愈的概率；A6表示“恰好有6个人被治愈”,

据题意分析知,该模型属于10重伯努利模型.2023/2/525设某种药对某种疾病的治愈率为80%,设Ak表示“恰好有k个人被治愈”,

A表示“至少有6人被治愈”.由于所以现有10个患这种疾病的病人同时服用这种药，(2)至少有6人被治愈的概率。求互不相容，且解：例6(续).2023/2/526内容小结2.掌握伯努利概型及二项概率公式,并熟练利用1.理解事件的独立性定义；熟练掌握利用独立性计算事件的概率；此公式计算事件的概率。2023/2/527作业习题一(28)：24、26、27、282023/2/528备用题解:(1)因为A，B不相容，所以所以2023/2/529(2)因为A，B独立，所以2023/2/5302.(血型问题)A,B,AB型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03.现任选五人，求下列事件的概率：(1)两个人为O型,其他三人分别为其他三种血型；(2)三人为O型,两人为A型；(3)没有一个人为AB型；解：设事件A=“两个人为O型,其他三人分别为其他三种血型”；事件B=“三人为O型,两人为A型”某国家的统计数据显示，一个人的血型为O,2023/2/531事件C=“没有一个人为AB型”,则2023/2/5323.向单位圆x2+y2<1内随机地投下3点,则这3点中恰有2点落在第一象限中的概率为多少？解：“投下的每一点”可看作有两种可能结果：A表示点落在第一象限中;第一象限中,落下3点相当于3重伯努利试验，于是所求概率为A表示点不落在