第五章 图像几何变换

第五章图像几何变换图像位置变换图像形状变换图像绘制--photoshop图像绘制—画图图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像的位置、大小、形状等变化的方法。1图像位置变换图像位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行旋转和平移。图像位置变换：平移，镜像、旋转、错切1.1图像的平移图像平移变换公式：下移1行，右移2列注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。图像平移1.2图像的镜像镜像分为水平镜像和垂直镜像平移：水平镜像：123123123-3-2-1发生问题：矩阵下标不能为负图像镜像图像镜像1.3图像旋转图像旋转计算公式如下：这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理

图像旋转图像旋转的前期处理图像旋转之前，为避免信息丢失，画布扩大很最重要，根据旋转点的不同，坐标平移与画布设置示意如下：图像的旋转例题结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差异很大。图像旋转计算示例图像旋转处理的隐含问题图像旋转之后，出现了两个问题：1、像素排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有8个方向，如下图所示。2、会出现许多的空洞点。图像旋转的后处理图像旋转出现的两个问题的本质都是因为像素值的填充是不连续的。可以采用插值填充的方法来解决。图像旋转的后处理最简单的方法是行插值（列插值）方法均值插值法：将空穴像素周围的均值作为填充值填在该空穴中2图像形状变换图像形状变换是指图像的形状发生了变化，包括：平面上变换，即放大、缩小等。投影变换，三维物体投影到平面时所产生的形状变化。2.1图像缩小分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小后，承载的信息量小了，画布可相应缩小。图像按比例缩小图像不按比例缩小图像缩小实现方法图像缩小实际上是对原有的多个数据进行挑选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，且尽量保持原有特征不丢失。最简单的方法就是等间隔地选取数据。图像缩小的实现方法设原图像大小为M*N,缩小为k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*x,c2*y)c1=1/k1c2=1/k2图像缩小例题K1=3/5,k2=3/412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353679101112131516171825272829303133343536i=[1,6],j=[1,6].x=[1,4],y=[1,5].x=[i2,i3,i5,i6],y=[j1,j3,j4,j5,j6].123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536注意：不按比例缩小会导致几何畸变。图像放大需要对多出的空位填入适当的值，是信息的估计。

2.2图像放大2.2图像放大的原理最简单的思想是，如果需要将原图像放大k倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应的k*k大小的子块中。放大5倍显然，当k为整数时，可以采用这种简单的方法。图像的成倍放大效果2.2图像放大的方法设原图像大小为M*N,放大为k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*x,c2*y)c1=1/k1c2=1/k2图像不按比例放大图像放大的问题如果放大倍数太大，按照前面的方法处理会出现马赛克效应。图像的成倍放大效果2.3图像错切图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。图像错切错切的计算公式如下：X方向错切：Y方向错切：图像错切例题

可以看到，错切之后原图像的像素排列方向发生改变。与前面旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。2图像几何校正

遥感图像几何失真与处理图像在获取过程中，图像产生几何失真。图像几何失真主要表现为位移、旋转、缩放、仿射、弯曲和更高阶的歪曲。当对图像作定量分析时，要对失真的图像先进行精确的几何校正。几何校正：消除几何失真的过程称为几何校正下图是一种畸变情形。怎么校正呢？？？必须寻求建立畸变图像与正常图像的几何畸变关系。几何校正两幅图像几何畸变的关系能用解析式来描述。分两种情况：

1、h1(x,y)，h2(x,y)已知

2、h1(x,y)，h2(x,y)未知设f(x,y)是无失真的原始图像，g(x’,y’)是f(x,y)畸变的结果在建立几何畸变关系的前提下，还要通过畸变图像获得校正后的图像的像素灰度值几何校正：图像几何校正的方法与步骤图像几何校正的基本方法步骤先建立几何校正的数学模型其次利用已知条件确定模型参数最后根据模型对图像进行几何校正。确定各像素的灰度值（灰度内插）一、函数h1(x,y)和h2(x,y)已知校正又有两种方法：直接法几何校正：间接法几何校正：设f(x,y)是无失真的原始图像，g(x’,y’)是f(x,y)畸变的结果，这一失真过程已知且可以用函数h1(x,y)和h2(x,y)定义一、函数h1(x,y)和h2(x,y)已知根据函数关系，求h1(.),h2(.)的反变换h’1(.),h‘2

(.):是指对畸变图像进行几何坐标运算，得出其在校正后的图像中的坐标值。直接法几何校正一、函数h1(x,y)和h2(x,y)已知从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，把像素灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。存在问题：经直接法校正的图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏密不均等现象，不能满足要求。最后还需对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。一、函数h1(x,y)和h2(x,y)已知设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据:间接法几何校正间接法几何校正由（x,y）通过函数关系推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。(α,β)=[h1(x,y),h2(x,y)]。由于(α,β)通常不一定是整数，所以α,β不会与g(x’,y’)中的任何点重合，找出g(x’,y’)中与（α,β）最靠近的点(x1’,y1’)，并且令f(x,y)=g(x1’,y1’)，即把g(x1’,y1’)的灰度赋予f(x,y)。逐点做下去，直到整个图像，几何畸变得到校正。在未知情况下,通常h1(x,y)和h2(x,y)可用多项式来近似:二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何失真图像。基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像系统获得的，有较大几何畸变的图像g(x´,y´)。在函数h1(x,y)和h2(x,y)未知的情况下，通常用基准图像和几何畸变图像上多对同名像素的坐标来确定函数h1(x,y)和h2(x,y)当n=1时，畸变关系为线性变换，上述式子中包含a00、a10、a01

、b00、b10、b016个未知数，至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知当n=2时，畸变关系式为包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式，解求未知数。二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知使用二次项式校正要更精确一些二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知的几何校正线性畸变的几何校正方法：在规则格网中有3个已知点坐标(r1,s1)、(r2,s2)、(r3,s3)，选取其在畸变图像上的同名像素的3个坐标(u1,v1)、(u2,v2)、(u3,v3)。由线性映射关系可得求解方程组可得系数a、b、c、d、e、f，确定函数h1(x,y),h2(x,y)关系，利用间接法可校正几何失真的图像二、函数h1(x,y)和h2(x,y)未知的几何校正二次型畸变的几何校正方法：据可知，二次型畸变包含12个未知数，因此至少需要6对同名像素坐标已知。当多于6对同名像素坐标已知时，根据最小二乘法求解系数aij,bij。这样也可以确定函数关系h1(x,y),h2(x,y)。然后，可用已知h1(x,y),h2(x,y)的间接法校正几何失真的图像示例2像素灰度内插方法对数字图像进行几何校正处理后，需要近一步对不规则的图像进行后续灰度插值处理。常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法和三次内插法三种。最近邻元法(零阶插值)最近邻元法(零阶插值)在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素灰度赋给该待求点。x’=h1(x,y)y’=h2(x,y)(x’,y’)一般不处于畸变像素的中心位置，采用四邻像素与之最近的点像素灰度作为(x,y)点灰度。该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。双线性内插法（一阶插值）一阶插值（双线性插值法）比零阶插值的最近邻插值法具有更令人满意的效果双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方向上作线性内插。由于通过4点确定一个平面是一个过约束问题，所以在一个矩形栅格上进行的一阶插值就需要用到双线性方程来定义的一个双曲抛物面与4个已知点拟合：从a到d的4个系数可由已知的4个顶点的f(x,y)的值来确定。双线性内插法（一阶插值）下面推导待求像素灰度值的计算式。如图，对顶端上两个顶点线性插值，对于(i,j+v)有f(i,j+v)=[f(i,j+1)-f(i,j)]v+f(i,j)对底端方向上两个顶点线性插值，对于(i+1,j+v)有f(i+1,j+v)=[f(i+1,j+1)-f(i+1，j)]v+f(i+1，j)

最后作垂直方向插值，对于(i+u,j+v)有f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)所以，有f(i+u,j+v)=该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。三次内插法该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为：(i-1,j-1)(i-1,j+2)(i+2,j-1)(i+2,