2017-2018版高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1函数的概念和图象（一）学案版

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE23学必求其心得，业必贵于专精PAGE2．1。1函数的概念和图象(一)学习目标1.理解函数、定义域、值域的概念.2。了解构成函数的三要素。3.正确使用函数符号,会求简单函数的定义域、值域．知识点一函数的概念思考初中是用两个变量之间的依赖关系定义函数，用这种观点能否判断只有一个点（0,1)，是函数图象？梳理设A，B是两个非空的数集，如果按某种____________，对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有________的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为______________．其中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．知识点二判断两个变量是否具有函数关系的方法思考用函数的上述定义可以轻松判断：A＝｛0｝，B＝｛1}，f:0→1,满足函数定义，其图象(0，1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数?(1）f:求周长；A＝｛三角形｝，B＝R；（2）x123y321；（3)x123y111；(4)x111y123；(5)x123y12.梳理（1)如果一个输入值对应到唯一的输出值，就称这种对应为单值对应．（2）检验两个变量之间是否具有函数关系的方法①定义域和对应法则是否给出；②根据对应法则，确认是否为两个非空数集上的单值对应．知识点三值域思考下图所示的“箭头图”表示的对应关系是否为函数？如果是，3是不是输出值？梳理若A是函数y＝f(x）的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．对于函数f：A→B而言，如果值域是C,那么C⊆B，不能将B当作函数的值域．类型一函数关系的判断命题角度1给出三要素判断是否为函数例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．（1）A＝R,B＝{x｜x＞0｝，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2;(3）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；(4)A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝{0｝,f：x→y＝0.反思与感悟判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断（1）A，B必须是非空数集．（2）A中任何一个输入值在B中必须有输出值与其对应．(3)A中任何一个输入值在B中必须有唯一一个输出值与其对应．跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是________．（填序号)①A＝R，B＝｛x∈R｜x＞0｝，f：x→eq\f(1,|x|）;②A＝N，B＝N＊，f：x→|x－1｜；③A＝{x∈R|x＞0｝，B＝R，f：x→x2；④A＝R，B＝｛x∈R｜x≥0}，f:x→eq\r(x).命题角度2给出图形判断是否为函数图象例2下列图形中可以作为函数图象的是____________．（填序号)反思与感悟在图形中,横坐标相当于输入值，纵坐标相当于输出值．判断图形是否为函数图象，就是看横坐标与纵坐标是否单值对应．跟踪训练2若函数y＝f（x）的定义域为M＝｛x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2｝，则函数y＝f(x）的图象可能是____________．(填序号）类型二已知函数的解析式，求其定义域例3求下列函数的定义域．（1）y＝3－eq\f（1，2)x； （2）y＝2eq\r（x）－eq\r(1－7x)；(3)y＝eq\f（x＋10，\r（x＋2)); (4)y＝eq\r（2x＋3)－eq\f（1，\r(2－x))＋eq\f（1，x)。反思与感悟求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零．(2）若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零．（3)若f(x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．（4)若f(x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练3函数f（x)＝eq\f(\r（x），x－1）的定义域为________．类型三对于f（a)，f（x)的理解例4（1）已知函数f(x）＝eq\r（x＋2）,若f（a)＝4，则实数a＝________.（2）已知f（x)＝eq\f(1，1＋x)(x∈R且x≠－1)，g（x)＝x2＋2（x∈R）．①求f(2)，g（2）的值；②求f(g（2）)的值；③求f（a＋1）,g（a－1）．反思与感悟（1)f（x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么,只需把相应的x都换成对应的数或式子．(2）f(a）有3个含义①a∈定义域．②f(a)∈值域．③输入值a按对应法则f对应输出值f（a）．跟踪训练4已知f（x)＝eq\f(1－x，1＋x)（x≠－1)．(1）求f(0）及f(f（eq\f（1，2)）)的值；(2）求f(1－x）及f(f(x）)．类型四求函数值域例5求下列函数的值域．(1)y＝x＋1，x∈{1，2,3,4,5};(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3）；（3)y＝eq\f(2x＋1,x－3）；（4)y＝2x－eq\r(x－1)。反思与感悟求函数值域的方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类"的形式，便于求值域．（4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域．跟踪训练5求下列函数的值域．（1）f(x)＝x2＋x＋1，x∈{－1,0,1，2，3｝；(2）f(x)＝x2＋2(x∈[－1,3]）;（3)f（x)＝eq\f(2x－1，x＋1）；(4）f(x）＝x－eq\r(x＋1）.1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的是________．(填序号)①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a）表示当x＝a时函数f(x）的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．函数y＝eq\r(1－x）＋eq\f（\r(x),x－1)的定义域为________．3．函数f（x）＝eq\r(2x－1)（x≥1)的值域为________．4．设f(x)＝eq\f（x2－1，x2＋1)，则eq\f（f2,f\f(1,2)）＝________。5．下列各组函数是同一函数的是________．（填序号)①f（x)＝eq\r(－2x3)与g（x)＝xeq\r(－2x)；②f(x）＝x与g(x)＝eq\r(x2）；③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t）＝t2－2t－1。1．函数的本质：两个非空数集间的一种单值对应．由于函数的定义域和对应法则一经确定,值域也随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则一样即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时,定义域就是使函数式有意义的输入值x的集合．3．在y＝f（x）中，x是自变量，f代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示,其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应法则f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序"，当在f（）中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f（x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”,如f(4）＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f"比喻为一个“数值加工器"（如图），当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工"就得到一个对应值．

答案精析问题导学知识点一思考因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．梳理对应法则f唯一y＝f（x)，x∈A知识点二思考(1)不是，因为集合A不是数集．（2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．（3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(4)不是．一个x＝1,对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．(5）不是．x＝3没有相应的y与之对应．知识点三思考对于A中任意一个元素，B中都有唯一的元素和它对应，故上图中的对应关系是函数,但B中元素3没有输入值与之对应，故3不是输出值．题型探究例1解（1）输入值0在B中没有输出值与之对应，故不是集合A到集合B的函数．(2）对于集合A中的任意一个整数x,按照对应法则f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的输出值，故不是集合A到集合B的函数．(4)对于集合A中任意一个输入值x,按照对应法则f:x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的输出值0和它对应，故是集合A到集合B的函数．跟踪训练1③解析①中,当x＝0时，输出值为0,而集合B中没有0；②中,当x＝1时，输出值为0,而集合B中没有0;③正确；④不正确．例2②③④解析①中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于A中至少有一个输入值在B中对应的输出值不唯一，故①不是函数图象，其余②③④均符合函数定义．跟踪训练2②解析①中，定义域为［－2，0]，不符合题意;②中，定义域为[－2，2]，值域为［0，2],符合题意;③中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；④中，定义域为[－2，2］，但值域不是[0,2]，不符合题意．例3解(1)函数y＝3－eq\f(1，2）x的定义域为R.（2）由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥0，,1－7x≥0，)）得0≤x≤eq\f（1,7)，所以函数y＝2eq\r（x）－eq\r(1－7x）的定义域为[0，eq\f（1,7)]．（3）由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x〉－2，所以x>－2且x≠－1。所以函数y＝eq\f（x＋10,\r（x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．(4）要使函数有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0,，2－x>0，，x≠0,））解得－eq\f(3,2）≤x＜2，且x≠0，所以函数y＝eq\r(2x＋3）－eq\f(1，\r(2－x））＋eq\f(1，x)的定义域为{x|－eq\f（3,2)≤x＜2，且x≠0}．跟踪训练3｛x｜x≥0且x≠1｝例4（1）14解析f(a)＝eq\r（a＋2)＝4,∴a＋2＝16,a＝14。（2）解①因为f(x）＝eq\f（1,1＋x)，所以f(2）＝eq\f（1,1＋2）＝eq\f(1，3).又因为g（x)＝x2＋2，所以g（2）＝22＋2＝6.②f（g（2)）＝f（6）＝eq\f（1，1＋6)＝eq\f（1,7).③f（a＋1）＝eq\f(1,1＋a＋1）＝eq\f（1,a＋2）.g(a－1)＝(a－1）2＋2＝a2－2a＋3.跟踪训练4解(1）f(0)＝eq\f(1－0，1＋0）＝1.∵f（eq\f（1，2))＝eq\f（1－\f（1,2),1＋\f(1，2）)＝eq\f(1，3），∴f(f(eq\f（1，2)）)＝f(eq\f（1，3））＝eq\f（1－\f(1，3），1＋\f（1，3))＝eq\f（1,2)。(2）f(1－x）＝eq\f(1－1－x，1＋1－x）＝eq\f(x,2－x）(x≠2)．f（f(x))＝f(eq\f（1－x，1＋x))＝eq\f（1－\f(1－x，1＋x),1＋\f(1－x，1＋x))＝x（x≠－1)．例5解(1)按照对应法则,输入值1,2，3，4,5分别对应输出值2，3，4，5，6，∴值域为｛2,3，4,5，6}．(2）y＝（x－1)2＋2，∵x∈［0，3)，∴（x－1)2∈［0,4),∴（x－1)2＋2∈［2,6)，∴这个函数的值域为［2,6）．（3)y＝eq\f（2x－3＋7,x－3）＝2＋eq\f(7，x－3）。∵eq\f（7,x－3）≠0，∴2＋eq\f（7，x－3）≠2。∴这个函数的值域为｛y|y≠2}．（4）这个函数的定义域为［1，＋∞），y＝2x－eq\r（x－1）＝2（x－1)－eq\r（x－1)＋2.设t＝eq\r(x－1)，t≥0，则y＝2t2－t＋2＝2（t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15，8）.∵t≥0，∴(t－eq\f（1，4))2≥0，∴2(t－eq\f(1，4))2＋eq\f(15,8)≥eq\f（15,8),∴这个函数的值域为［eq\f（15,8），＋∞)．跟踪训练5解(1)由题意,得f(－1）＝1，f（0)＝1，f(1）＝3,f(2)＝7，f（3）＝13，所以函数f(x）的值域为｛1,3，7，13}．（2）由题意，得抛物线y＝x2＋2开口向上，对称轴是y轴,所以函数f（x）＝x2＋2在［－1，3]上的最小值为2，最大值为11，所以函数f（x)的值域是[2,11］．（3)方法一因为f(x)＝eq\f(2x＋1－