第二章 数学模型概述

环境系统分析大连民族学院环境工程系Office:634Email:ouxiaoxia@

欧晓霞数学模型概述2.1数学模型的定义和分类2.2数学模型的建立2.2.1建立数学模型的过程2.2.2对模型的基本要求2.2.3数学模型的验证和误差分析2.3Excel在建立数学模型的应用2.3.1污水处理的线性回归分析2.3.2结构分析和曲线拟合2.3.3用Excel进行参数估计1数学模型的定义和分类1.定义:根据所观察到的现象，归结成一套反映其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。广义定义:数学公式+计算方法和计算过程特征:抽象性(数学规律→突破约束→反应本质)2.数学模型的优点多变量模拟；可以任意改变模型参数和结构，有利于发现事物的本质特征；不需要实验设备和空间，速度快，费用低；具有描述目标系统的状态外，具有分析能力。3.模型的分类模型抽象模型具体模型数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型3.模型的分类动态模型/静态模型线形模型/非线模型确定性模型/随机模型模拟模型/管理模型集中参数模型/分布参数模型通常环境系统分析模型——动态模型/非线模型/随机模型/分布参数模型讨论题用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服，哪个效果好。

定义：M中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表S中的一个元素(分量)；M中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与S的分量间关系进行类比。

设，一盆水水量L，衣服中污染物质量M，余水量L1，残余物比较；物理简化法；数学简化法。2.2数学模型的建立2.2.1对模型的基本要求2.2.2建立数学模型的过程2.2.3数学模型的验证和误差分析2.2.1对模型的基本要求利用对客观系统的结构和运动规律的认识和理解建立模型-演绎法-机理模型-白箱模型利用对系统的输入、输出数据的观察建立模型-归纳法-经验或统计模型-黑箱模型灰箱模型：介于机理和经验之间1.根据模型结构分类2.对模型的基本要求依据充分；足够的精确度；可操作、实用2.2.2建模过程

数据的收集与分析

实测数据/历史数据变量/变量；变量/时间；变量/空间模型结构的选择与确定模型参数估值模型验证与修正模型的应用和反馈建立数学模型的步骤观测数据组Ⅰ模型结构选择模型应用观测数据组Ⅱ参数估计检验与验证图2-4模型的建立过程模型的结构选择(1)白箱模型根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。(3)黑箱模型即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。2.3Excel在建立数学模型的应用2.3.1污水处理的线性回归分析2.3.2结构分析和曲线拟合2.3.3用Excel进行参数估计污水处理的线性回归分析例2-2某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台帐如表2-4所示，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的线性回归模型，然后用4月份的数据进行验证。

表2-5

出水COD对应入水COD回归统计结果MultipleR0.630237Intercept43.25682XVariable10.136996标准误差26.22009观测值24因此，出水COD对应入水COD的线性回归的模型形式是：

Y=0.137X+43.257结构分析和曲线拟合例2-3十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用Excel工作表进行曲线拟合。

表2-7十二胺降解实验数据从获得的三个数学模型来看，指数模型R2

与实验数据拟合的相关系数高达98.6%（R2=0.9726）,应是较好的选择。2.3.3用Excel进行参数估计用Copy计算式结合多元线性回归进行复杂模型参数估值

例2-4根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，并讨论其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通过输入计算式和用Copy命令求得对应的x10.5和ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入表2-8。

用最优化方法进行复杂模型的参数估值使用Excel电子表格，对于因变量y相应于自变量X（可以是包含多个元素的向量）的试验或观测数据，由经验给定参数的初值开始，计算计算值与观测值之间的误差，用最优化方法进行参数估值，使该参数取值条件下误差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速为4.0km／h，饱和溶解氧(DO)为lO.Omg／L，河流起点的BOD(L0)浓度为20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的测定数据如下：第二章数学模型概述学习难点的阐述通过例题例2-2学习，进一步阐述该学习难点，用具体计算和图形展示误差的取值、累积频率曲线；认识中值误差(累积频率为50％)的概念和采用来作为衡量模型精确度的度量。掌握数学建模方法。第二章数学模型概述学习要点为：(1)

满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。(2)

数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一组数据分析工具，要使用分析工具库进行数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。(4)

练习掌握用Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟合及参数估计等数学建模问题。难点重点作业已知一组实验数据,就下列模型进行参数估计并说明哪种模型结构更适合实验数据。(1)y=abx；(2)y=axbx12