第二章 岩体内的应力波

第二章应力波理论与岩体内的爆炸应力波2.1热力学的基本概念2.2液体和气体中的应力波（自习）2.3应力波2.4岩体内的爆炸应力波2.5弹性波的波动方程（自习）2.6平面波、球面波、柱面波的波动方程（自习）2.7纵波在两种岩石界面的折射和反射2.8应力波的干涉

2.1热力学的基本概念

2.1.1基本概念

⑴理想液体和气体理想液体或气体是其粒子之间既无剪力又无摩擦力作用的一种连续介质。

⑵热力学基本参量流体的状态参数常用压力P，比容V或密度ρ,温度T,比内能e，比熵s等热力学状态参量来描述。其中压力、密度和温度是可以直接测量的量，称为热力学基本参量。

⑶热力学零定律流体热力学体系化学成分不因混合或扩散而改变时，流体的状态可由任何两个独立的热力学参数来确定，该状态原理有时又称热力学第零定律。

⑷状态方程热力学参量P、V、T、e、s中任何两个都可以选作为独立变量，其他量都可用它们表示，这些热力学量之间的关系称为状态方程。状态方程决定三个参数之间的关系，通常具有以下形式：

,,(2－2)

根据气体和液体的运动学理论：

(2－3)

其中：，都是函数。

⑸熵熵指的是混乱的程度热力学中表征物质状态的参量之一，通常用符号S表示。在经典热力学中，

熵的定义：或(2－1)式中：—比热；

—绝对温度；—介质的两种状态。

⑹体系的热力学关系式物质的基本粒子（原子、分子）的运动能量和相互的效应称为物质的内能。单位质量的内能称为比内能，用E表示，并由状态的参数决定：，，(2－4)热力学第一定律表示为能量守恒：

(2－5)根据方程（2－5）可知，体系内的介质所吸收的热量dQ分别消耗于完成内能与功的变化量dE和dA。量Q、E和A都是就单位质量而言，功常用dA=PdV表示，于是有：

(2－6)将式：

(2—7)

代入（2－6）式得：

(2－8)

体积恒定时，则（2－8）式为：

(2－9)

压力恒定时的比热为：

CV是在体积恒定情况下，当单位质量的物质温度升高一个单位时的内能增量;CP是在压力恒定情况下，当单位质量的物质温度升高一度时的热量增量，在此等压过程中，体积是变化的。对于所有物质，CP>CV

，这些定义说明，差（CP-CV）等于单位质量的物质温度升高一度时膨胀所作的外功。

(2－10)

热量的总变化可分为内部的变化（粒子之间的摩擦）和外部的变化（加热和放热）即：

所以对于绝热过程（）：因为粒子之间的摩擦的功恒为正（），因此，对于绝热过程始终有。对于理想物质：绝热过程称为理想绝热或等熵绝热过程。绝热系统中熵无变化的过程称为可逆过程。在不可逆过程中，熵是增大的。使介质的熵增加的不可逆过程发生在冲击波的波阵面上；波阵面上的压力和其它量的变化为阶跃式的，压力跃变值越大，冲击波波阵面上的热损耗和介质的熵的增加越多。在等熵运动情形中，S=S0=常数，方程（2－2）式有形式：即压力仅与体积或密度有关，等熵并不意味着温度不变。

2.1.2理想气体与正压介质1、理想介质理想气体是指在其粒子之间既无摩擦力又无结合力作用的气体，因此，它的内势能为零，而整个内能等于运动粒子的动能，所以内能与绝对温度有关。若在特殊情况下，内能与温度成正比，这种理想气体称为多方气体。或(2－12)热力学第一定律（2－5）式为：

(2－13)在可逆绝热过程中，不与外部介质发生热交换，于是对多方气体，我们有，或(2－14)

克拉伯龙－门捷列夫理想气体的状态方程为：

(2－15)式中0R是气体常数，当P=常数时，对式（2－15）进行微分，得到，热力学第一定律取以下形式：

(2－16)式（2－16）两边同除以得迈耶公式：

(2－17)对于多方气体，由于式（2－1）、（2－15）、（2－16）得到：

(2－18)(2－19)(2－20)多方气体的熵是两个变量：温度和体积或压力和体积的函数。解（2－20）得：

（2－21）

多方气体的状态方程也可以表示为方程（2－21）形式，在等熵过程中，熵是常数。A*(S)=A*=常数，多方气体状态方程变为：或（2－22）这里A*是常数，k是等熵指数。声波的传播速度为：（2－23）若与分别表示压力为时介质的声速与密度，由（2－22）、（2－23）得：

（2－24）利用上述关系，理想气体的内能表示为：（2－25）2、正压介质定义：状态方程中不包含熵的介质称为正压介质。因此，这种介质的状态方程形式是：（2-26）在这种介质中，熵的变化对压力的影响可以忽略不计，水、饱和土以及诸如油－水－气、石油－水、石油－气、水－气等多相介质都属于这种介质。平均压缩率：（2-27）当压力为P0时，比容为，压力为P1时，比容为。瞬时压缩率：

(2－28)式中：

(2－29)ρCz

称为介质的特征阻抗或波阻抗。对于不可压缩物体，ξ＝0，A’＝∞故声速Cz

＝∞压缩率（2－28）表示P=P（V）曲线上一点的某性质，若利用平压缩率，这个性质就定义在一个压力区间。根据热力学第一定律，并考虑到（2－1）式，对正压介质的内能便得到关系：

(2－30)内能和压力可以表示成为取作基本量的两个参数—体积和熵的函数E=E(V,S)(2－31)比较（30）式与（31）式得：，根据状态方程，压力只与体积有关，因此：

(2－32)由此可知正压介质是内能分成两个函数的介质，其一只与熵，另一只与体积有关。有些正压介质的状态比较复杂，水和其它均质液体的状态方程一般表示为：

(2－33)系数A*与B*是试验确定的常数。根据公式（2－23）、（2－24）得：k>1时，Cz随密度的增加而增大，k＝1时，Cz与密度无关，而Cz<1时，随密度的增大而减少。

P=P0时,因而

(2－34)式（2－33）可表示为：

(2－35)2.3应力波2.3.1基本概念在介质中传播的扰动称为波.由于任何有界或无界介质的质点是相互联系着的,其中任何一处的质点受到外界作用而产生变形和扰动时,就要向其他部分传播,这种在应力状态下介质质点的运动或扰动的传播,称为应力波.固体爆炸应力波的定义：装药在岩体或其他固体介质中所激起的应力扰动的传播，称为爆炸应力波，即介质处于某一应力状态下的部分和介质其余部分的界面称为波阵面。⑴按应力波传播途径：应力波可分为体积波和表面波体积波：是指在固体介质中传播的应力波，体积波又可分为纵波（P波）和横波（S波）纵波是由波源向外传播的一种压缩波，其前进方向与质点的振动方向一致[图2.2(a)]，介质在其作用下被压缩和膨胀，其特点是周期短、振幅小、波速快，引起地面竖向振动，破坏性较弱；横波是由波源向外传播的一种剪切波，其前进方向与质点振动方向垂直[图2.2(b)]，其特点是周期长、振幅相对纵波大、波速慢引起地面水平振动，破坏性较强。

图2-7体积波传播示意图在地层表面或介质体表面传播的地震波称为面波，它通常被认为是体波经地层界面的多次反射后形成的次生波，主要包括瑞利波(R波)和洛夫波(L波)。在瑞利波的传播过程中，介质质点在地表面内及波的传播方向上作椭圆运动，但在与该平面垂直的水平方向没有振动，因而瑞利波质点运动轨迹在地面上呈滚动形态[图2.3(a)]在勒夫波的传播过程中，质点仅在与传播方向相垂直的水平方向运动，在地面上呈蛇形运动形式[图2.3(b)]。其特点是振幅大、周期长，在地面传播时衰减慢，但其携带的能量比较大，影响范围较广，也是造成建筑物发生强烈振动甚至破坏的主要因素。在整个爆破过程中，体波是导致岩石产生破裂的主要因素，而面波则是引起爆破地震效应的主要因素。

图2-8面波传播示意图⑵按波阵面形状分类球面波、柱面波和平面波⑶按传播介质变形性质不同分类由于固体介质变形性质不同，在固体中传播的应力波可以分为以下几种：①弹性波：在弹性介质传播的波，服从虎克定律②黏弹性波：在非线性弹性体中传播的波。这种波除了弹性变形产生的弹性应力外，还产生摩擦应力或黏滞应力③塑性波。应力超过弹性极限的波。在能够传播塑性波的介质中，应力在未超过弹性极限前仍然是弹性的。应力超过弹性极限后，出现屈服应力，起传播速度比弹性应力传播速度小得多。④冲击波。如果介质的变形性质能使大扰动的传播速度远远大于小扰动的传播速度，在介质中就会形成波阵面陡峭的，已超声波传播的冲击波。2.3.2爆炸应力波的传播和特性1、应力波的传播和作用爆炸应力波传播过程和范围如图所示图2-8爆炸应力波的传播和作用范围图3-2爆破的内部作用R0-药包半径；R1-粉碎区半径；R2-破裂区半径⑴冲击波的作用：冲击波具有陡峭，以超音速进行传播，波阵面上的状态参数突跃变化，波峰压力大大超过介质的抗压强度，此时介质产生塑性变形或粉碎，形成压碎区，冲击波的作用范围一般为3～7倍装药半径。⑵应力波的作用冲击波衰减后变成压缩波，波阵面上介质参数变化也明显平稳，传播速度等于音速，在此范围内，应力波峰压力小于介质的抗压强度，只能造成介质的变性，裂隙或拉断，该区域因而也成为裂隙区。作用范围为7～120／150R。是爆破的主要作用区。⑶地震波的作用压缩波对介质连续做功，能量进一步损耗，直至衰减到不对介质起任何破坏作用，只能引起质点的弹性振动，形成地震波。地震波衰减慢，作用范围大，对介质没有直接的破坏作用，该区域也称弹性振动区。2、爆炸应力波的特性

应力波特性，亦即它们在介质中的性状和变化，首先取决于介质本身的性质。为了透彻了解应力波的机制，必须知道介质的一般基本特性，介质的基本特性可用应力----应变关系表示。

设理想情况下，波的传播方向与质点运动方向一致，在固体取一微元体，扰动前处于静止状态，初始应力为σ，质点运动速度为零u＝0，扰动后密度和应力变化分别为，质点获得运动速度du，扰动传播速度为D，设t时刻为与截面AA’的波头，在t+dt时刻传播至截面CC’，传播的距离为Ddt，在同一时刻dt时间内，截面AA’的质点移至截面BB’，产生位移为du、dt。由动量守恒得：化简得：(2-91)质量守恒：忽略方程中高阶微量得：（2-92）根据比容V，密度ρ和体积变形θ的关系有：

（2－93）

由（2-91）和（2－92）式得：

（2-95）

（2－95）式表明，固体中微幅应力波的传播速度决定于应力随应变的变化率即变形模量。（2－94）

图2-10介质中应力扰动的传播εABσAσBεCεBεACσc0σ图2-9固体在冲击荷载作用下的变形曲线因有限幅应力波可看作是一系列微幅应力波的叠加，要了解固体中爆炸应力波的特性，须知道固体材料在冲击载荷下的应力和应变关系。图2-9为固体在冲击和在作用下的典型变形曲线。图中0~A为弹性区，A为屈服点，A~B为弹塑性区，B点以后材料进入类似流体状态。若应力值不超过弹性极限或屈服点。在固体中传播的是弹性应力波，应力和应变为线性关系，变形模量为常数，与扰动强度无关。弹性应力波的传播速度等于未扰动固体中的声速，按下式计算，有上式只适用于无侧限应力的一维平面波。当应力超过屈服点而处于弹塑性变形区内时，紧跟弹性应力波后面传播的是弹塑性波。该区内变形模量不是常数，而是随应力值增大而减小，因此，高应力处的微幅应力扰动要比低应力处的微幅应力扰动传播慢，波头在传播过程中逐渐变缓。通常弹塑性变形区可近似用直线表示，并以该直线的变形模量计算弹塑性的平均波速，其值小于未扰动固体中的声速。

应力值超过B点，固体的变形特性类似于流体，其变形模量随应力增大或压缩率减小而增加。与弹塑性波相反，高应力处的微幅应力扰动要比低应力处的微幅应力扰动传播快，其结果将形成陡峭波头（见2.4.3冲击波的形成过程）。但在B~C变形段内，变形模量仍小于弹性区变形模量，故在该区内，虽能形成陡峭波头，但波头传播速度不是超声速的（与固体介质中的声速比较），不能把它看作是冲击波。为与冲击波区别起见，把此波称为不稳定冲击波（非稳态冲击波）。应力值超过C点后，不仅能形成陡峭波头，而且波头传播速度是超声速的，这时将可以形成冲击波。装药在岩体中爆炸时，若作用在岩体上的冲击载荷超过C点应力（临界应力），首先形成的是冲击波，尔后衰减为非稳态冲击波、弹塑性波、弹性应力波、地震波（图2-11）。图2-11不同应力条件下介质中传播的各种爆炸应力波2.4岩体内的爆炸应力波2.4.1爆炸应力波的初始压力炸药爆炸后作用于周围介质中的爆炸应力波初始压力，因装药的耦合条件不同，直接或间接地作用于周围介质，激起不同强度的冲击应力波，按声学近似的方法或按爆轰产物等熵膨胀后碰撞炮孔壁方法，在耦合装药情况下，初始径向应力峰值为：

(2－97)

式中：－冲击应力波初始峰值压力，Pa

－被作用介质密度，kg/m3－炸药装药密度，kg/m3

－介质中纵波传播速度，m/s

－炸药的爆速，m/s

－炸药的爆轰压，Pa不耦合装药：孔壁压力式中：-碰撞次数=8-10；

-装药半径

-炮孔半径

-待定系数，与药包形状有关。2.4.2岩体内的冲击波冲击波通过时，岩石类似于流体，波头上状态参数将发生突跃变化。设岩石初始参数为，，，=0，冲击波波速为D，波头上岩石状态参数突变为P、V、E、u，（P、V、E、u分别为压力、比容、内能、质点速度）这些参数满足下列冲击波基本方程：（2－98）

（2-99）（2-100）（2－98）式至（2－100）式三个基本方程，四个未知数，解上述方程必须知道状态函数E=(P,V)，这很困难，因此一般通过实验给出岩石的雨果尼奥曲线，即，最常采用的RH方程为：

(2－101)式中：B—试验确定的系数，或按下列公式计算：（2－102）n—试验指数，大多数岩石n≈4或：a,b—试验确定的常数，某些岩石值见表2-1。

2.4.3应力波衰减规律随着应力波的传播，由于几何衰减和能量损失造成的衰减，随应力波传播距离增大，应力峰值将不断减少，径向应力峰值与距离的关系可表示为：

(2－103)式中：—距离装药中心距离与炮孔半径的比值。称为对比距离

—应力波衰减指数对冲击波取正，对应力波取负。

—泊松比切向拉应力峰值（绝对值）可通过径向压应力峰值来表示：

（2－104）系数B与岩石的泊松比μ有关，可用下式计算：因此（2-105）2.7纵波在两种岩石界面的反射和折射

2.7.1入射波、发射波、折射波的性质

入射波：从波源向外发射，有一种介质向另一种介质传播的波称为入射波，炸药爆炸产生的冲击波、应力波、地震波，均以压缩波的形式从爆源向外发射传播。向自由边界垂直和斜射入射的波，称为垂直入射波和倾斜入射波。

反射波：入射波遇到两种不同介质界面则被反射，这部分被反射回来的波称为反射波。

折射波：入射波遇到两种不同介质的界面时，除了一部分反射为反射波外，另一部分波透过界面进入另一种介质的波，称为折射波（透射波）。

2.7.2折射定律在△OAO’中，有：在△OBO’中，有：

图2-17入射波在不同介质中的折射

两边相除，即得的波的折射定律：上式称为斯涅耳定律2.7.3纵波在两种岩石界面的反射和折射因装药在岩石中爆炸后直接激起的应力波主要是纵波，我们主要讨论纵波在两种岩石界面上的反射和折射。

图2-18纵波在两种岩石界面上的反射和折射

设两种岩石界面为YX平面，波源在第一种岩内，其波阻抗，第二种岩石的波阻抗为，若界面上两变岩石的粘结力不能使岩石沿界面产生相对滑移，则应力波入射到界面时所应满足的条件是界面两边法向位移、切向位移、法向应力、切向应力均连续相等。为满足边界条件，在界面上将同时产生四种不同的新波：反射纵波和反射横波、折射纵波和折射横波。⑴入射角、反射角、折射角与波速关系遵循斯涅耳定律式中：—第一种岩石纵波和横波的波速

—第二种岩石纵波和横波的波速⑵各波位移中幅值满足下列方程（规定在波传播方向产生的位移为正）法向位移：（2－148）切向位移：（2－149）

法向应力：（2－150）切向应力

（2－151）

由以上四个方程可求得入射波位移幅值表示的反射波和折射波位移。正入射时，入射波和所有其它角度均等于零，在这种情况下，即没有横波产生，只产生反射纵波和折射纵波。解方程得：

（2－152）

（2－153）反射应力σR，折射应力σT与入射应力σI的比值为：

(2-154)(2-155)

如果将炸药看作是第Ⅰ种介质，岩石看作是第Ⅱ种介质，炸药内传播的爆轰波为弹性波，利用(2-155)求得的折射压力：

（2－156）式中：P1为炸药的爆轰压力：为炸药冲击阻抗，为岩石的波阻抗。或：应力波垂直入射时，情形简单。满足连续和平衡条件：在边界的两侧，其应力必须相等；垂直于边界面方向的质点速度必须相等。在单位面积下有：讨论：⑴、、说明反射波为拉伸波，质点运动与入射波质点运动相同，而与反射波传播方向相反，透射波的应力幅值小于入射波。若第二种介质为空气，或界面为自由面时，空气的波阻抗可忽略不计（＝0），则有：、、、

即反射波的应力和质点速度值与入射波的相同，但应力极性倒转；自由面上的应力为零，质点速度为入射波速度的2倍。(2)若，即在阻抗匹配情况下，则有：、、、说明没有反射波产生，入射波就像不存在有界面一样直接通过。根据能量守恒定律，反射波与折射波的能量总和应等于入射波的能量。因此，在阻抗匹配的情况下，入射波能量也将全部传给折射波。(3)若,反射波应力为正,而质点速度为负，说明反射波为压缩波,质点运动方向与入射波质点运动方向相反,而与反射波传播方向相同。若第种介质为刚体或界面为刚性界面，与相比可忽略不记，或认为，则有：、、、

即反射波的应力和质点速度值与入射波的相同，但质点速度极性倒转；界面上的质点速